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ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen. :

Gegeben sind die Punkte A=(1,0,1), B=(0,1,1) und Cα=(1,2,α) im R^3, wobei α ∈ R.

a)Bestimmen Sie den Flächeninhalt Fα des Dreiecks mit den Ecken A, B, und Cα.

b) Bestimmen Sie β ∈ R mit Fβ minimal.


Meine Ideen:

zu a) Ich habe die gegebenen Werte in folgende Formel eingesetzt:

Fα= 1/2 * | vector(AB) x vector(ACα) | =  1/2 * | (-1|1|0) x (0|2|α-1) | = 1/2 * | (α-1|α-1|-2) |

= 1/2 * √((α-1)^2 + (α-1)^2 + 4) = 1/2 * √(2* (α-1)^2 + 4)

Nun weiß ich nicht, ob ich das noch weiter vereinfachen kann oder ob und wie ich α bestimmen soll.

zu b) Hier weiß ich überhaupt nicht weiter. Soll ich eventuell einfach das α mit dem β im Punkt C ersetzen? Wie

bestimmt man dann den minimalen Flächeninhalt.


Danke, für die Lösungsvorschläge.

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b) Bestimme den Tiefpunkt der Funktion F(α) = 1/2 · √(2·(α-1)2 + 4)

Avatar von 107 k 🚀
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a) sieht gut aus, den Ausdruck unter der Wurzel kannst du nicht mehr vereinfachen, außer vielleicht, du hebst ein Wurzel 2 heraus und hast dann 1/Wurzel 2 (bzw. Wurzel (1/2) ) dastehen. Ist aber nicht so wichtig.

Bei b) sollst du für die Funktion $$F(\alpha)=\frac12\sqrt{2(a-1)^2+4}$$ das Minimum nach alpha bestimmen. Anders ausgedrückt sollst du die Extrema von F bezüglich alpha finden und herausfinden, welches davon das absolute Minimum ist. Welche Funktion könnte zum Auffinden von Extremstellen denn von Nutzen sein?

Avatar von 1,0 k

Danke für die schnelle Antwort.

Ich habe jetzt die Ableitungsfunktion von F(α) gebildet. Die sieht dann so aus:

F'(α)= (4*α - 4)/ (4*(√(2* α^2 - 4*α +6)))

Dann habe (4*α - 4)/ (4*(√(2* α^2 - 4*α +6)))=0 gesetzt und für α den Wert 1 erhalten.

Anschließend habe ich mit F"(α) überprüft, ob es sich um ein Minimum handelt:

F"(1)= - (4*α - 4)^2/ (8*(√(2* α^2 - 4*α +6))^3) +  (1/(√(2* α^2 - 4*α +6))) = 1/2

=> Es handelt sich um ein Minimum

Damit ist die Lösung für α bzw. β =1. Ist das so richtig?

Vollkommen richtig so.

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