Flächeninhalt eines Dreiecks im R^3 bestimmen

Question

ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen. :

Gegeben sind die Punkte A=(1,0,1), B=(0,1,1) und Cα=(1,2,α) im R^3, wobei α ∈ R.

a)Bestimmen Sie den Flächeninhalt Fα des Dreiecks mit den Ecken A, B, und Cα.

b) Bestimmen Sie β ∈ R mit Fβ minimal.

Meine Ideen:

zu a) Ich habe die gegebenen Werte in folgende Formel eingesetzt:

Fα= 1/2 * | vector(AB) x vector(ACα) | =  1/2 * | (-1|1|0) x (0|2|α-1) | = 1/2 * | (α-1|α-1|-2) |

= 1/2 * √((α-1)^2 + (α-1)^2 + 4) = 1/2 * √(2* (α-1)^2 + 4)

Nun weiß ich nicht, ob ich das noch weiter vereinfachen kann oder ob und wie ich α bestimmen soll.

zu b) Hier weiß ich überhaupt nicht weiter. Soll ich eventuell einfach das α mit dem β im Punkt C ersetzen? Wie

bestimmt man dann den minimalen Flächeninhalt.

Danke, für die Lösungsvorschläge.

Answer 1

b) Bestimme den Tiefpunkt der Funktion F(α) = 1/2 · √(2·(α-1)² + 4)

Answer 2

a) sieht gut aus, den Ausdruck unter der Wurzel kannst du nicht mehr vereinfachen, außer vielleicht, du hebst ein Wurzel 2 heraus und hast dann 1/Wurzel 2 (bzw. Wurzel (1/2) ) dastehen. Ist aber nicht so wichtig.

Bei b) sollst du für die Funktion $$F(\alpha)=\frac12\sqrt{2(a-1)^2+4}$$ das Minimum nach alpha bestimmen. Anders ausgedrückt sollst du die Extrema von F bezüglich alpha finden und herausfinden, welches davon das absolute Minimum ist. Welche Funktion könnte zum Auffinden von Extremstellen denn von Nutzen sein?

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

Ich habe jetzt die Ableitungsfunktion von F(α) gebildet. Die sieht dann so aus:

F'(α)= (4*α - 4)/ (4*(√(2* α^2 - 4*α +6)))

Dann habe (4*α - 4)/ (4*(√(2* α^2 - 4*α +6)))=0 gesetzt und für α den Wert 1 erhalten.

Anschließend habe ich mit F"(α) überprüft, ob es sich um ein Minimum handelt:

F"(1)= - (4*α - 4)^2/ (8*(√(2* α^2 - 4*α +6))^3) +  (1/(√(2* α^2 - 4*α +6))) = 1/2

=> Es handelt sich um ein Minimum

Damit ist die Lösung für α bzw. β =1. Ist das so richtig?

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Vollkommen richtig so.