Monotonieverhalten OHNE Nullstellen (geb. rationale Funktionen)

Question

Hallo liebes Matheteam,

Ich soll für die Funktion  f(x)=(-x²+2x+3):(2x-2)

das monotonieverhalten bestimmen.

nach normaler Vorgehensweise funktoniert alles.

2 Asmptoten, 1. bei x=1  und die zweite aus der PD -0,5x+0,5
lim läuft in allen fällen nach unendlich

aber die erste ableitung der funktion gibt mir keine Nullstellen.
auch wenn ich weiß, dass der graph immer smf ist,
muss ich es rechnerisch zeigen können...

NUR WIE?

ich bitte ganz lieb um Hilfe, Becki

Answer 1

 f(x) = (-x²+2x+3) / (2x-2) 

f '(x) = - (x² - 2·x + 5)/(2·(x - 1)²)   hat keine reellen Nullstellen, also kann sich das Vorzeichen von f ' und damit die Monotonie nur an der Definitionslücke x=1 ändern.

f '(0) = -5/2 < 0   und f '(2) = <0

→  f ist streng monoton fallend in  ] - ∞ ; 1 [  und in ] 1 ; ∞ [

Gruß Wolfgang

  

Answer 2

Ich soll für die Funktion  f(x)=(-x²+2x+3):(2x-2)

das monotonieverhalten bestimmen.

Vereinfachen wir zunächst mit einer Polynomdivision
f ( x ) = 1/2  - x /2  + 4 / ( 2x-2 ) bzw
f ( x ) = 1/2  - x /2  + 2 / ( x-1 )

f ´( x ) = -1 / 2  -  2 / ( x-1)^2

Extremstelle
-1 / 2  -  2 / ( x-1)^2 = 0
2 / ( x - 1 )^2 = -1/2
Die linke Seite ist stets positiv => keine Nullstelle

Monotonie > 0
-1 / 2  -  2 / ( x-1)^2 > 0
- 1 / 2 > 2 / ( x-1)^2
2 / ( x - 1 )^2 < -1/2
Nie.

Der Vollständigkeit halber.
Monotonie < 0
-1 / 2  -  2 / ( x-1)^2 < 0
- 1 / 2 < 2 / ( x-1)^2
2 / ( x - 1 )^2 > -1/2
Stets

Die Monotonie ist stets < 0 ( fallend ).