Ungleichungen lösen - Variable x ∈ ℝ

Question

Bestimmen sie jeweils die Lösungsmenge der Ungleichungen in der Variable  x ∈ ℝ

(Bemerkung: Beachten Sie den Definitionsbereich der jeweiligen Ausdrücke).

a) 

$$ \frac { 2x+1 }{ x+4 } \le 2, $$

b)

$$ |{ x }|^{ 3 }-{ x }^{ 2 }<|x|x. $$

Answer 1

da brauchst du Fallunterscheidungen

1.  x> -4    dann hast du       2x + 1  ≤ 2(x+4)

                                         2x + 1  ≤ 2x+8

                                                 1  ≤ 8    also alle x> -4 in L

2. x<-4                             2x + 1   ≥ 2(x+4)

                                                also falsch.

Lösungsmenge.    alle x mit  x> -4 

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Kannst du mir vlt. noch sagen was es mit den strichen  " I "  bei b) auf sich hat? Die verwirren mich. Kann ich die beim Lösen einfach nicht beachten oder wie muss man da vorgehen ?

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Die Striche sind Betragsstriche.

Die bedeuten :   Nimm den Betrag von dem , was zwischen den

Strichen steht.  z.B.   | -5 | = 5   aber   | 5| = 5   etc.

allgemein also  | x | = x wenn x≥0 ist und  | x | = -x

wenn x<o, denn für x<0 ist ja -x der positive Wert.

Also machst du wieder eine Fallunterscheidung

1. Fall x≥0

Da kannst du die Striche einfach weglassen und hast

x^3 - x2 < x^2

x^3 - 2x2 < 0

x^2 * (x - 2)  < 0

Da x^2 nie negativ ist, muss also x-2 negativ sein

und das heißt   x<2 .    Also sind in diesem Fall alle x<2 Lösungen

und damit dieser Teil der Lösungsmenge L1= [ 0 ; 2 [ .

2. Fall x < 0 

Hier musst du |x| durch -x ersetzen, gibt

- x^3 - x^2 < - x^2

- x^3 < 0

x < 0

Also sind alle x<0 Lösungen und damit die gesamte Lösungsmenge

L = ] - unendlich ; 2 [ .