Für welche x ∈ ℝ gilt a) (x-3)/(x+1) > 2, ... (Ungleichungen / Betragsungleichungen)

Question

ich komme leider bei diesen Aufgaben nicht weiter:

Habe verschiedene Matheapps ausprobiert, nur leider sind die Rechenwege sehr verschiedenen zu dem was ich gelernt.

Ich habe das gelernt es mit Fallunterscheidungen zu machen.

Beispiel die a)

(x-3) / (x+1) > 2    x ≠ -1

Fall 1:

x+1 > 0

x > -1

(x-3) / (x+1) > 2 | (x+2)

x-3 > 2 (2x+4)

-7 > x

Fall 2:

x+1 < 0

x < -1

(x-3) / (x+1) > 2 | (x+2)

x - 3 < 2(x+2)

-7 < x

Könnt ihr mir bitte sagen was falsch ist ?

Und könntet ihr mir bitte den richtigen Rechenweg angeben (mit einer kleinen Erklärung wäre sehr nett!)?

Answer 1

Es fehlt auf jeden Fall die Zusammenfassung (die Lösungsmenge!) 

Angenommen, du hast richtig gerechnet: 

Fall 1: 

x+1 > 0

x > -1

(x-3) / (x+1) > 2 | (x+2)

x-3 > 2 (2x+4)

-7 > x

L_(1) = { x Element R | x> - 1 und x<-7} = leere Menge

Fall 2:

x+1 < 0

x < -1

(x-3) / (x+1) > 2 | (x+2)

x - 3 < 2(x+2)

-7 < x

L_(2) = { x Element R | x< - 1 und x> -7} = { x Element R | -7 < x < -1} 

L = L_(1) u L_(2) =  { } u  { x Element R | -7 < x < -1} =  { x Element R | -7 < x < -1}

ob die Lösungsmenge stimmt, sagt dir https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x-3)+%2F+(x%2B1)+%3E+2 .

D.h. du hast dich wohl noch irgendwo verrechnet. 

Korrektur: 

Fall 1:  

x+1 > 0

x > -1

(x-3) / (x+1) > 2 | (x+1)

x-3 > 2 (x+1)

-5 > x

L₁ = { x Element R | x> - 1 und x<-5} = leere Menge

Fall 2:

x+1 < 0

x < -1

(x-3) / (x+1) > 2 | (x+1)

x - 3 < 2(x+1)

-5 < x

usw, 

Comments

Erstmal vielen Lieben Dank!

Hätte noch kurz zwei Fragen noch.

Wieso ist bei "L₁ = { x Element R | x> - 1 und x<-5} = leere Menge" eine Leere Menge?

und könntest du mir noch verraten wie das Ergebnis für L₂ dann ausschauen müsste`?

Vielen Lieben Dank!

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Wieso ist bei "L₁ = { x Element R | x> - 1 und x<-5} = leere Menge" 

Es gibt keine Zahl die grösser als -1 und zugleich kleiner als -5 ist. 

und könntest du mir noch verraten wie das Ergebnis für L₂ dann ausschauen müsste`?

Einfach nur fertig korrigieren:

L₂ = { x Element R | x< - 1 und x> -5} = { x Element R | -5 < x < -1}  

L = L₁ u L₂ =  { } u  { x Element R | -5 < x < -1} =  { x Element R | -5 < x < -1} 

Das sollte nun mit der Lösungsmenge von Wolframalpha übereinstimmen. 

Answer 2

a) Bringe 2 nach links, HN bilden und zusammenfassen.

.....> 0

b) 2 Fälle unterscheiden:

x >=-1 und x<-1

c) 3 Fälle unterscheiden:

x<-1. -1<=x<=1, x>1

d) (x-8)(x+3)>0 --> 2 Fälle unterscheiden

Answer 3

Zu a) (x-3)/(x+1)>2 umformenzu (-x-5)/(x+1)>0

Lösungen für (-x-5>0∧ x+1>0)∨ (-x-5<0∧ x+1<0) Lösungsmenge {x|-5<x<-1}

Answer 4

Du hast 2 Fehler in deiner Rechnung
(x-3) / (x+1) > 2 | (x+2)
sondern
(x-3) / (x+1) > 2 | (x+1)

Zweitens mußt du das Ergebnis mit deiner Eingangs-
voraussetzung vergleichen

Alles oberhalb der x-Achse ist die Lösungsmenge

Comments

"Zweitens mußt du das Ergebnis mit deiner Eingangs-
voraussetzung vergleichen"

Könntest du das bitte erklären? Verstehe das nicht ganz.

Ich danke dir im Voraus!

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Deine / meine Eingangsvoraussetzung im Fall 1.
ist doch x > -1. Bei mir als Kästchen hervorgehoben.

Meine Lösung für Fall 1 ist x < - 5

Zeichnet man diese Bereiche auf einen Zahlstrahl
dann sieht man : hier ist keine Schnittmenge
vorhanden.
Für ( x > -1 ) und  ( x < - 5 ) gibt es keine
Lösungsmenge.

Gern bin ich weiter behilflich.

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Habe es verstanden.

Komme leider bei den anderen Aufgaben nicht auf das richtige Ergebnis.

Könntest du mir zu der b), c), d) auch die Lösunggswege aufzeigen?

Danke dir vielmals!!

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b.) Für den 2.Fall  gibt es keine Schnittmenge.
Nur im ersten Fall gibt es eine Lösung.

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d.)
x^2 - 5x -24 ≥ 0

quadratische Ergänzung
x^2 - 5x + (5/2)^2 ≥ 24 + 25 / 4
( x - 5/2 ) ^2 ≥ 121 / 4

- 11 / 2 < x - 5 / 2 < 11 / 2 | + 5
- 6 / 2 < x < 16 / 2
- 3 < x < 8

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c und d übrigens inzwischen auch hier: https://www.mathelounge.de/479074/fur-welche-x-%E2%88%88-%E2%84%9D-ungleichungen-betragsgleichungen 

Ich habe dort bei d) das "Gegenteil" rausbekommen. 

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c.) Ist wohl die komplizierteste

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@Lu,
stimmt. Danke für den Fehlerhinweis.

d.)
Bis hierhin stimmt es noch.
( x - 5/2 ) ² ≥ 121 / 4
dann
x - 5/ 2 ≥ 11 / 2
x ≥ 8
und
x - 5/ 2 ≤ -11 / 2
x -≤ -3