Minimale Länge zwischen einem Graphen und einem Punkt berechnen

Question

Hier die Aufgabe:

Gegeben sind die Funktion f:x --> x^2 und der Punkt Z(2|0). Für einen Punkt (u|u^2) auf Gf ist die Länge der Strecke [ZP] minimal. Bestimmen Sie diese minimale Länge auf zwei Nachkommastellen genau.

im Voraus!

Answer 1

meine Lösungsidee war nicht korrekt

Comments

Tut mir leid, aber wie geht eine Extremwertbetrachtung, wir haben das irgendwie noch nicht richtig durchgenommen :/

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es soll glaube ich sowas wie 1,36 rauskommen...

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zu minimieren ist Strecke PZ

du hast ein rechtwinkliges Dreieck AZP, mit den Katheten AZ und PZ, es gilt der Pythagoras

AZ ist 2-u

PA ist u^2

u^4+(2-u)^2=a^2

u^4+4-4u+u^2=a^2

mache jetzt eine Extremwertbetrachtung

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Hallo isomorph,

ich möchte die Aufgabe zu Ende führen.

u⁴+4-4u+u²=a²

soweit bin ich auch. Weiter gehts
a = Wurzel (...)
Da eine Wurzelfunktion und der Radikant an derselben
Stelle den Extremwert haben brauchen wir nur den Radikanten
abzuleiten und dürfen zu 0 setzen
4 *u^3 + 2 * u - 4 = 0
u^3 + 0.5 * u - 1 = 0

Und jetzt das Newton - Verfahren ergibt
u = 0.835

~plot~ x^2 ; { 0.835 | 0.835^2 } ~plot~

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Hallo georgborn, das Newtonverfahren habe ich gestern auch schon in Excel laufen lassen, die Frage, die sich für mich stellt, über welche mathematischen Voraussetzungen und Mittel verfügt der Aufgabenlöser? Das Newtonverfahren ist händisch ja doch recht anspruchsvoll. Eine Idee, die mir auch noch kam, an den Punkt P (siehe meine Skizze) eine Tangente an die Parabel zu legen, dann stehen die Tangente und die Gerade durch die Punkte P und Z zueinander senkrecht, das Produkt der Anstieg ist gleich -1. Ich habe aber diesen Weg nicht durchgerechnet, kann also noch keine Aussage über den Aufwand machen. Wie gesagt, welche Mittel darf der Aufgabenlöser verwenden?

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Ich sehe gerade bei Wolfgang  steht die Lösung auch schon.

Ich habe eine 2.Variante mit Tangente und Normale ausgetüftelt
kam dann aber wieder auf dieselbe kubische Gleichung .

Ich habe mir mit meinem Matheprogramm mupad bereits eine
allgemeine Lösung zum Newton-Verfahren für beliebige
Funktionen erstellt das ich zur Lösung genutzt habe.

Answer 2

Die Länge ist abhängig von u

l(u) = wurzel ( (2-u)^2 + (u-u^2)^2 )

Davon das Minimum ist die Lösung.

Comments

und wie berechnet man das minimum davon? Ich war in der Stunde krank, als wir das durchgenommen haben, deswegen stehe ich gerade voll auf dem Schlauch...

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Wieso steht da in der Wurzel \(...+(u-u^2)^2\)?

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stimmt! eigentlich müsste es sein:

l(u)= wurzel ((2-u)^2+u^4)

oder?

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oh stimmt, ich meinte ( 0 - u^2 ) ^2  und das ist u^4.

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und wie kann man da jetzt ds minimum berechnen??

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Ableitung bilden und gleich 0 setzen.

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sorry, aber ich checke nicht, wie man die ABleitung bildet...

Answer 3

Hallo.

für den Abstand d(u) deiner Punkte Z und P gilt:

d(u) = √ [  (u - 2)² + u⁴ ]    [editiert, vgl. Kommemtare]

du musst die Ableitung = 0 setzen, Minimum überprüfen und  die gefundenen u-Wert(e)  in d(u) einsetzen:

d'(u) = (2·u³ + u - 2 ) / √(u⁴ + u² - 4·u + 4)

Die Gleichung  2·u³ + u - 2 = 0 lässt sich aber leider nur numerisch mit einem Näherungsverfahren (z.B.Newtonverfahren) oder mit den Cardanischen Formeln lösen.                  Letzteres willst du dir wahrscheinlich nicht antun!

Du findest die Hilfen hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

 [Kontrolllösung: u_min  = 0.8351223484 , d_min = 1.357699386 ]

[ Beim Auffinden von u_min kannst du statt der Wurzel auch einfach den Radikanden 

 r(u) = (u - 2)² + u⁴  ableiten,

weil wegen der strengen Monotonie der Wurzelfunktion dessen Extremstellen mit denen von d(u) übereinstimmen. ]

Gruß Wolfgang

Comments

tut mir leid, aber ich weiß nicht wie ich das Minimum berechnen kann...

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Du berechnest  die Nullstellen der Ableitung und überprüfst, an welcher ein Vorzeichenwechsel von - nach + vorliegt.

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und die ableitung berechnet man wie? Das mit den nullstellen kann ich dann berechnen ...

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Die Ableitung  von √(T(x))  ist  T '(x) / [ 2 • √(T(x)) ]

(u - 2)² + u⁴ wirst du doch wohl ausrechnen und nach u anleiten können ?

Kommentar korrigiert. (vgl. folgenden Kommentar.)

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Aber ist der Abstand [ZP] nicht folgender:
[ZP]=wurzel(u^4+u^2-4u+4) ??

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Wolfgang hat ein Quadrat zuviel (rot markiert)

(u²-2)^2

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Die Ableitung wäre doch 4u^3 + 2u -4 oder?

Und wie kann man dann weitermachen?

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@Isomorph: du hast natürlich recht, danke für den Hinweis.

d(P,Z) = √ [ x_P - x_Z)² + (y_P - y_z)² ] = √ [ (u - 2)² + u⁴ ]

[habe einmal x und y-Koordinate verwechselt]

Antwort dementsprechend korrigiert!

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nicht d(P,Z)= wurzel(2-u)^2+u^4) ?

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ja, wurde korrigiert.

Die Ableitung wäre doch 4u³ + 2u -4 oder?

Und wie kann man dann weitermachen? 

Schau noch einmal in die ergänzte Antwort.