Hallo Jessi,
Welcher Quader mit quadratischer Grundfläche und einem Volumen von 100 cm3 hat eine minimale Oberfläche?
Wahrscheinlich ein Würfel, was sonst!
Wenn \(a\) die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche ist und \(h\) die Höhe des Quaders, dann ist seine Oberfläche \(O\)$$O = 2a^2 + 4ah \to \min$$diese soll minimiert werden. Die Nebenbedingung ist das konstante Volumen \(V\)$$V =a^2h \implies a^2h - V = 0$$wie groß \(V\) ist, soll zunächst keine Rolle spielen.
Lagrange-Gleichung aufstellen$$L(a,h, \lambda) = 2a^2 + 4ah + \lambda(a^2h - V)$$und ableiten nach \(a\) und \(h\)$$\frac{\partial L}{\partial h} = 4a + \lambda a^2 = 0 \implies \lambda = -\frac 4a\\ \frac{\partial L}{\partial a} = 4a + 4h + 2\lambda ah = 0 $$das \(\lambda\) in die zweite Gleichung einsetzen gibt $$\begin{aligned} 4a + 4h -\frac 4a \cdot 2 ah &= 0 \\ 4a + 4h - 8h &= 0 \\ 4h &= 4a \\ h &= a \end{aligned}$$Wie oben schon vermutet liegt ein Extremum vor, wenn alle Kanten des Quaders gleich lang sind. Einsetzen in die Nebenbedingung und das Volumen gibt$$V = a^3 = 100 \text{cm}^3 \implies a= \sqrt[3]{100} \text{cm} \approx 4,64 \text{cm}$$Solltest Du das Lagrange-Verfahren nicht kennen, so folgt aus der Nebenbedingung$$h = \frac{V}{a^2}$$Einsetzen in die Gleichung für die Oberfläche, nebst Ableiten und Nullsetzen gibt$$\begin{aligned} O &= 2a^2 + 4 \frac V{a} \\ O' &= 4 a - 4 \frac{V}{a^2} = 0 \\ 0 &= 4a^3 - 4 V \\ a &= \sqrt[3]{V}\end{aligned}$$Kommt natürlich das selbe raus. Wir können nun noch prüfen, ob es sich um ein Minimum handelt, dazu muss die zweite Ableitung an dieser Stelle \(\gt 0\) sein$$O'' = 4 + 8 \frac{V}{a^3} \implies O''\left(a = \sqrt[3]{V}\right)= 12 \gt 0 $$das ist der Fall!
Wie sieht das Ergebnis für einen Quader mit quadratischer Grundfläche bei einem anderen Volumen V aus?
\(a\) ist immer die dritte Wurzel aus dem Volumen.
Gruß Werner
