Ein anderer Beweis
Es sei bx = y. Dann ist einerseits
(1) x = logb y
durch Logarithmieren zur Basis b auf beiden Seiten. Andererseits ist auch
logr bx = logr y
durch Logarithmieren zur Basis r auf beiden Seiten. Mit Logarithmusgesetzen lässt sich diese Gleichung umformen zu
x·logr b = logr y.
Dividiert man die Gleichung auf beiden Seiten durch logr b, so bekommt man
(2) x = logr y / logr b.
Setzt man (1) und (2) gleich, dann bekommt man
logb y = logr y / logr b.
Wenn man möchte, kann man jetzt 10 für r einsetzen.
Zu deinen Fragen
> wieso man bei dem "Beweis" auf einmal anfängt, mit einer Potenz von einer Division von 2 Logarithmen
Weil es zum Ziel führt.
> woher man die 10 hat
Die hat man sich ausgedacht.
OK, Spass beiseite. Die entscheidende Frage ist doch, ob
blog y / log b = (10log b)log y / log b
tatsächlich gilt. Was ist auf der rechten Seite der Gleichung anders als auf der linken? b wurde durch 10log b ersetzt. Darf man das? Ja, weil b = 10log b ist (nach Definition des Logarithmus).
> wieso blog y : log b = y beweist, dass logby = log10y : log10b
blog y : log b = y
⇔ logb blog y : log b = logb y
⇔ log y : log b = logb y