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Warum ist

log2128 = log10128 : log102

In meinem Schulbuch ist ein "Beweis" gegeben, jedoch finde ich den ziemlich unverständlich, ich habe nämlich keine Ahnung

wieso man bei dem "Beweis" auf einmal anfängt, mit einer Potenz von einer Division von 2 Logarithmen, und dann woher man die 10 hat und wieso  b^{log y : log b}  = y beweist, dass logby  = log10y : log10b


Bild Mathematik


Es wäre sehr freundlich, wenn es jemand erläutern könnte.

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Ein anderer Beweis

Es sei bx = y. Dann ist einerseits

(1)        x = logb y

durch Logarithmieren zur Basis b auf beiden Seiten. Andererseits ist auch

logr bx = logr y

durch Logarithmieren zur Basis r auf beiden Seiten. Mit Logarithmusgesetzen lässt sich diese Gleichung umformen zu

x·logr b = logr y.

Dividiert man die Gleichung auf beiden Seiten durch logr b, so bekommt man

(2)        x = logr y / logr b.

Setzt man (1) und (2) gleich, dann bekommt man

logb y = logr y / logr b.

Wenn man möchte, kann man jetzt 10 für r einsetzen.

Zu deinen Fragen

> wieso man bei dem "Beweis" auf einmal anfängt, mit einer Potenz von einer Division von 2 Logarithmen

Weil es zum Ziel führt.

> woher man die 10 hat

Die hat man sich ausgedacht.

OK, Spass beiseite. Die entscheidende Frage ist doch, ob

blog y / log b =  (10log b)log y / log b

tatsächlich gilt. Was ist auf der rechten Seite der Gleichung anders als auf der linken? b wurde durch 10log b ersetzt. Darf man das? Ja, weil b = 10log b ist (nach Definition des Logarithmus).

> wieso  blog y : log b  = y beweist, dass logby  = log10y : log10b

blog y : log b  = y

⇔ logb blog y : log b  = logb y

⇔ log y : log b  = logb y

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