Beweis eines Logarythmus Gesetzes

Question

Ich soll Beweisen dass Log_a(x1*x2)=Log_a(x1)+Log_a(x2) für alle a element R und a > 0

Answer 1

Log_a(x1*x2)=Log_a(x1)+Log_a(x2)

Log_a(x1)= y1     # bedeutet  a ^y1 = x1

Log_a(x2)= y2      ## bedeutet  a ^y2 = x2

Log_a(x1*x2)=y3    ###  bedeutet  a ^y3 = x1*x2

dann ist  x1*x2 =   a ^y1 *  a ^y2  =  a ^y1+y2   (Potenzgesetzt !!!)

also y3 = y1 + y2  bzw. durch einsetzen von #, ## und ###

Log_a(x1*x2)=Log_a(x1)+Log_a(x2).  q.e.d.

Comments

cool danke ;)
Kannst du mir noch sagen wie man das hier Beweist?
Lim_{x---> Unendlich} ((e^x)/(x^k))= Unendlich

Ich hab eine Menge von solcher Aufgaben zu erledigen, und weiß nicht dirket wie man das alles Beweisen soll.

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Hattet ihr die Regel von de' Hospital ?. Damit ist es einfach.

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ich weiß gar nicht wie man de' Hospital darauf anwenden soll :/

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Lim_{x---> Unendlich} ((e^x)/(x^k))   das ist für k>0 der Typ   unendlich / unendlich

also mit Hospital kannst du stattdessen betrachten

Lim_{x---> Unendlich} ((e^x)/(k*x^k-1))   wenn k-1 immer noch > 0 ist,
ist es wieder  der Typ   unendlich / unendlich, also nochmal

Lim_{x---> Unendlich} ((e^x)/(k(k-1)*x^k-2))  ...

irgendwann ist dann der Exponent im Nenner = 0, also

der ganze Nenner eine Konstante, und e^x durch eine Konstante geht gegen unendlich.

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Huh?
kann man mir vielleicht bei der Aufgabe hier helfen, wenn ihr schon mal dabei seid:

Lim_{x---> unendlich}  ln x= Unendlich , lim_x--->0,x>0 ln x = - unendlich

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ln(x) ist die Umkehrfunktion zu e^x

wenn also e^x für x gegen unendlch den lim unendlch hat, dann hat ln(x) den auch.

und für x gegen - unendlich hat e^x den lim 0, also 

ln für x gegen 0 den lim - unendlich.