Wieso ist der 2er Logarithmus von 128 das Gleiche wie der Logarythmus von 128 geteilt durch den Logarithmus von 2?

Question

Warum ist

log₂128 = log₁₀128 : log₁₀2

In meinem Schulbuch ist ein "Beweis" gegeben, jedoch finde ich den ziemlich unverständlich, ich habe nämlich keine Ahnung

wieso man bei dem "Beweis" auf einmal anfängt, mit einer Potenz von einer Division von 2 Logarithmen, und dann woher man die 10 hat und wieso  b^{log y : log b}  = y beweist, dass log_by  = log₁₀y : log₁₀b

Es wäre sehr freundlich, wenn es jemand erläutern könnte.

Answer 1

Ein anderer Beweis

Es sei b^x = y. Dann ist einerseits

(1)        x = log_b y

durch Logarithmieren zur Basis b auf beiden Seiten. Andererseits ist auch

log_r b^x = log_r y

durch Logarithmieren zur Basis r auf beiden Seiten. Mit Logarithmusgesetzen lässt sich diese Gleichung umformen zu

x·log_r b = log_r y.

Dividiert man die Gleichung auf beiden Seiten durch log_r b, so bekommt man

(2)        x = log_r y / log_r b.

Setzt man (1) und (2) gleich, dann bekommt man

log_b y = log_r y / log_r b.

Wenn man möchte, kann man jetzt 10 für r einsetzen.

Zu deinen Fragen

> wieso man bei dem "Beweis" auf einmal anfängt, mit einer Potenz von einer Division von 2 Logarithmen

Weil es zum Ziel führt.

> woher man die 10 hat

Die hat man sich ausgedacht.

OK, Spass beiseite. Die entscheidende Frage ist doch, ob

b^{log y / log b} =  (10^{log b})^{log y / log b}

tatsächlich gilt. Was ist auf der rechten Seite der Gleichung anders als auf der linken? b wurde durch 10^{log b} ersetzt. Darf man das? Ja, weil b = 10^{log b} ist (nach Definition des Logarithmus).

> wieso  b^{log y : log b}  = y beweist, dass log_by  = log₁₀y : log₁₀b

b^{log y : log b}  = y

⇔ log_b b^{log y : log b}  = log_b y

⇔ log y : log b  = log_b y