DGL Resonanzfall erkennen und berechnen

Question

folgende 2 Fragen:

Ein harmonischer Oszillator ohne Dämpfung wird periodisch angeregt:
$$ 2 \ddot{x}+2 a^{2} x=\sin (a t) $$
Dabei ist \( a>0 \) ein Parameter.

(i) Woran erkennt man im Allgemeinen den mathematischen Resonanzfall?

und

(ii) Zeigen Sie, dass in der gegebenen Differentialgleichung der mathematische Resonanzfall vorliegt.

Zu 1.: Ich habe kaum verständliche Informationen im Internet darüber gefunden oder gelesen.

Vielleicht kann mir jemand kurz und knapp das erklären, sodass es diese Prüfungsaufgabe beantworten würde.

Zu 2. Ich habe Ansätze, aber weiß nicht, ob diese richtig sind...

Answer 1

Man spricht von math. Resonanz, wenn die aus der Störfunktion abzulesende Zahl

eine Nullstelle des charakt. Polynoms ist.

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Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind:

-ia und ia

So lautet die homogene Lösung :x(t) =C_1 cos(at) +C_2 sin(at)

Du siehst hier die "Übereinstimmung" mit der Störfunktion.

Damit weißt Du , das es Resonanz gibt.

Der Ansatz für die part. Lösung lautet:

x_p= t(A cos(at) +B sin(at))

die part. Lösung mußt Du 2 mal ableiten und in die Aufgabe einsetzen.

Jetzt mußt Du einen Koeffizientenvergleich durchführen.

Lösung:

x(t)=x_h +x_p

Comments

steht dort bei der partk. Lösung: t mal die ganze Klammer? Wenn ja warum?

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steht dort bei der partk. Lösung: t mal die ganze Klammer? --->ja

die Antwort zu dieser Frage findest Du auf dem 2. Blatt unter Punkt 2)

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

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Sehr gute pdf. Danke dafür. Aber wäre dann die Ableitung nicht ewig lang? Ich hab auf dem Blatt für die Aufgabe ein Platz nur so groß wie dieses Kommentarfeld hier :)

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Aber wäre dann die Ableitung nicht ewig lang?-->nein

Laut Aufgabenstellung mußt Du wohl die DGL nicht lösen.

Du sollst x_h und x_p bilden und das daran erklären.. Das ist dann wohl alles.

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Klingt plausibel. ^^ Dann wird es schon so sein. Danke dir für die Hilfe :)

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gern doch

:)