Wie bestimmt man Extrema von f(x,y)=-4x^3+6x^2+12y^2?

Question

Ich habe folgende aufgabe:  f(x,y)=-4x^3+6x^2+12y^2

fx=-12x^2+12x

fy=24y

-12x^2+12x=0

24y=0

Ich habe kein Problem die partielle Ableitung anzuwenden, aber ich weiß nie, wie ich die extrema herausfinden kann. Wie muss ich hier genau vorgehen ? Muss ich die Gleichungen gleichsetzen ?

 

Answer 1

Du hast hier 2 Gleichungen mit je einer Unbekannten.

Die kannst du separat auflösen und bekommst so Werte für x und y.

-12x²+12x=0

24y=0 

-12x (x - 1) = 0      (I ')

==> x1 = 0, x2 = 1

y = 0 (II' )

L = { (0| 0), (1 | 0) } 

Nun musst du aber noch schauen, ob das tatsächlich Extrema sind. 

Kontrolle mit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=local+max+of+-4x%5E3%2B6x%5E2%2B12y%5E2+

(1|0) ist keine lokale Extremalstelle.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=local+min+of+-4x%5E3%2B6x%5E2%2B12y%5E2+

(0|0) ist eine lokale Minimalstelle.

Der minimale Funktionswert ist dort f(0|0) = 0. 

Comments

Erstmal vielen Dank :)

Wie gehe ich den vor wenn ich 2 Gleichungen hätte, die je zwei Unbekannte haben ? 

Zum Beispiel: 4x^2+2y=0 und 2x-12y=0....

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Löse eine der Gleichungen nach einer Unbekannten auf und setze die dann in der andern Gleichung ein. Diese (andere) Gleichung enthält nun nur noch eine Unbekannte und kann nach der aufgelöst werden. Dann setzt du das / die Resultat in die andere Gleichung ein.

Prinzip: Ziel muss immer sein, dass du eine Gleichung bekommst, die nur noch eine Unbekannte hast. Die kannst du dann auflösen. 

Das Thema, zu dem diese Fragen gehören, heisst übrigens: Gleichungssysteme. 

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Vielen lieben Dank ! Ich habe es endlich verstanden und konnte meine Aufgaben lösen