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Hey!

Für die Funktion ist die Ableitungsregel mittels vollständiger Induktion nach n zu beweisen:

$$  f={ f }_{ 1 }*{ f }_{ 2 }*{ f }_{ 3 }*...*{ f }_{ n } $$
$$ f'={ f }*\sum _{ i=1 }^{ n }{ \frac { { f }_{ i }' }{ { f }_{ i } }  }  $$

Ich weiß grundsätzlich wie die vollständige Induktion funktioniert, bin mir aber nicht sicher wie ich das hier anwenden kann.

Beim Induktionsschritt komme ich schließlich auf folgendes:

$$ f'*\frac { { f }'_{ n+1 } }{ { f }_{ n+1 } }  $$

Aber denke da stimmt schon etwas nicht, jedenfalls stehe ich hier an...
Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Grüße!

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zu  zeigen für alle n∈ℕ:     A(n):  [ f1 • f2 • ... • fn ] '  =   f1 • f2 • ... • fn •\(\sum\limits_{k=1}^{n} (f_k'/f_k)\)        

 Induktionsbasis:  A(n=1):     f1 '  = f•  f1' / f1     ist wahr.

Induktionsschluss:  A(n) ⇒ A(n+1)

Nachweis: 

[ f1 • f2 • ... • fn+1 ] '  = [ (f1 • f2 • ... • fn) • fn+1 ] '

Die Behauptung stellt eine Verallgemeinerung der Produktregel dar,

deren bekannter "Normalfall"  [u•v] ' = u' • v + u • v' jetzt angewendet wird::

=  [ f1 • f2 • ... • fn ] ' • fn+1 + [ f1 • f2 • ... • fn ] • fn+1'   

=IV [ f1 • f2 • ... • fn •\(\sum\limits_{k=1}^{n} (f_k'/f_k)\) ]  •  fn+1 +  [ f1 • f2 • ... • fn ] • fn+1'

fn+1 ausklammern:

= f1 • f2 • ... • fn • fn+1 • ( \(\sum\limits_{k=1}^{n} (f_k'/f_k)\) +  fn+1' / fn+1 )

 f1 • f2 • ... • fn • fn+1 •  \(\sum\limits_{k=1}^{n+1} (f_k'/f_k)\) 

w.z.b.w.

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Erst mal vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Kann deinen Schritten folgen, allerdings verstehe ich nicht ganz wie du beim Induktionsschluss hierauf kommst:

[ f1 • f2 • ... • fn+1 ] '  = [ (f1 • f2 • ... • fn) • fn+1 ] ' 

Meine Gedanken dazu wären folgende:

$$({ f }_{ 1 }*{ f }_{ 2 }*...*{ f }_{ n+1 })'\quad =\quad ({ f }_{ 1 }*{ f }_{ 2 }*...*{ f }_{ n+1 })*\sum _{ i=i }^{ n+1 }{ \frac { { f' }_{ n+1 } }{ { f }_{ n+1 } }  } $$

$$=({ f }_{ 1 }*{ f }_{ 2 }*...*{ f }_{ n+1 })*(\frac { { f' }_{ 1 } }{ { f }_{ 1 } } +\frac { { f' }_{ 2 } }{ { f }_{ 2 } } +...+\frac { { f' }_{ n+1 } }{ { f }_{ n+1 } } )$$

Stimmt meine Überlegung hier nicht?

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