Ableitungsregel mittels vollständiger Induktion beweisen

Question

Hey!

Für die Funktion ist die Ableitungsregel mittels vollständiger Induktion nach n zu beweisen:

$$  f={ f }_{ 1 }*{ f }_{ 2 }*{ f }_{ 3 }*...*{ f }_{ n } $$
$$ f'={ f }*\sum _{ i=1 }^{ n }{ \frac { { f }_{ i }' }{ { f }_{ i } }  }  $$

Ich weiß grundsätzlich wie die vollständige Induktion funktioniert, bin mir aber nicht sicher wie ich das hier anwenden kann.

Beim Induktionsschritt komme ich schließlich auf folgendes:

$$ f'*\frac { { f }'_{ n+1 } }{ { f }_{ n+1 } }  $$

Aber denke da stimmt schon etwas nicht, jedenfalls stehe ich hier an...
Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Grüße!

Answer 1

           

zu  zeigen für alle n∈ℕ:     A(n):  [ f₁ • f₂ • ... • f_n ] '  =   f₁ • f₂ • ... • f_n •\(\sum\limits_{k=1}^{n} (f_k'/f_k)\)        

 Induktionsbasis:  A(n=1):     f₁ '  = f₁ •  f₁' / f₁     ist wahr.

Induktionsschluss:  A(n) ⇒ A(n+1)

Nachweis: 

 [ f₁ • f₂ • ... • f_n+1 ] '  = [ (f₁ • f₂ • ... • f_n) • f_n+1 ] ^' 

Die Behauptung stellt eine Verallgemeinerung der Produktregel dar, 

deren bekannter "Normalfall"  [u•v] ' = u' • v + u • v' jetzt angewendet wird::

=  [ f₁ • f₂ • ... • f_n ] ' • f_n+1 + [ f₁ • f₂ • ... • f_n ] • f_n+1^'   

=_IV [ f₁ • f₂ • ... • f_n •\(\sum\limits_{k=1}^{n} (f_k'/f_k)\) ]  •  f_n+1 +  [ f₁ • f₂ • ... • f_n ] • f_n+1^' 

f_n+1 ausklammern:

= f₁ • f₂ • ... • f_n • f_n+1 • ( \(\sum\limits_{k=1}^{n} (f_k'/f_k)\) +  f_n+1^' / f_n+1 )

=  f₁ • f₂ • ... • f_n • f_n+1 •  \(\sum\limits_{k=1}^{n+1} (f_k'/f_k)\) 

w.z.b.w.

Gruß Wolfgang

   

Comments

Erst mal vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Kann deinen Schritten folgen, allerdings verstehe ich nicht ganz wie du beim Induktionsschluss hierauf kommst:

[ f₁ • f₂ • ... • f_n+1 ] '  = [ (f₁ • f₂ • ... • f_n) • f_n+1 ] ^' 

Meine Gedanken dazu wären folgende:

$$({ f }_{ 1 }*{ f }_{ 2 }*...*{ f }_{ n+1 })'\quad =\quad ({ f }_{ 1 }*{ f }_{ 2 }*...*{ f }_{ n+1 })*\sum _{ i=i }^{ n+1 }{ \frac { { f' }_{ n+1 } }{ { f }_{ n+1 } }  } $$

$$=({ f }_{ 1 }*{ f }_{ 2 }*...*{ f }_{ n+1 })*(\frac { { f' }_{ 1 } }{ { f }_{ 1 } } +\frac { { f' }_{ 2 } }{ { f }_{ 2 } } +...+\frac { { f' }_{ n+1 } }{ { f }_{ n+1 } } )$$

Stimmt meine Überlegung hier nicht?