zu zeigen für alle n∈ℕ: A(n): [ f1 • f2 • ... • fn ] ' = f1 • f2 • ... • fn •\(\sum\limits_{k=1}^{n} (f_k'/f_k)\)
Induktionsbasis: A(n=1): f1 ' = f1 • f1' / f1 ist wahr.
Induktionsschluss: A(n) ⇒ A(n+1)
Nachweis:
[ f1 • f2 • ... • fn+1 ] ' = [ (f1 • f2 • ... • fn) • fn+1 ] '
Die Behauptung stellt eine Verallgemeinerung der Produktregel dar,
deren bekannter "Normalfall" [u•v] ' = u' • v + u • v' jetzt angewendet wird::
= [ f1 • f2 • ... • fn ] ' • fn+1 + [ f1 • f2 • ... • fn ] • fn+1'
=IV [ f1 • f2 • ... • fn •\(\sum\limits_{k=1}^{n} (f_k'/f_k)\) ] • fn+1 + [ f1 • f2 • ... • fn ] • fn+1'
fn+1 ausklammern:
= f1 • f2 • ... • fn • fn+1 • ( \(\sum\limits_{k=1}^{n} (f_k'/f_k)\) + fn+1' / fn+1 )
= f1 • f2 • ... • fn • fn+1 • \(\sum\limits_{k=1}^{n+1} (f_k'/f_k)\)
w.z.b.w.
Gruß Wolfgang