kurze Zusammenfassung, sehr kompakt:
Pseudo-relativistisches Verhalten
Energie der Elektronen in Graphen als Funktion ihrer Wellenzahl$$\mathbf{k}\,=(k_x,k_y) $$in Tight-Binding-Näherung.
Die „besetzten“ bzw. „unbesetzten“ Zustände („gelb-grün“ bzw. „blau-rot“) berühren einander ohne Lücke genau an den im Text erwähnten sechs k-Werten.
Die elektrischen Eigenschaften von Graphen lassen sich gut durch ein Tight-Binding-Modell beschreiben. Im Rahmen dieses Modells ergibt sich die Energie der Elektronen mit Wellenzahl $$ \mathbf{k}$$ (siehe Wellenvektor) zu
$$ E=\pm\sqrt{\gamma_0^2\left(1+4\cos^2{\pi k_ya}+4\cos{\pi k_ya} \cdot \cos{\pi k_x\sqrt{3}a}\right)}$$
mit der Nächsten-Nachbar-Hopping-Energie $$\gamma_0\approx 2{,}8\ \mathrm{eV}$$ und der Gitterkonstante $$ a\approx 2{,}46\ \mathbb{A}$$. Leitungs- und Valenzband entsprechen Plus- bzw. Minus-Vorzeichen in der obigen Dispersionsrelation. Sie berühren einander in Graphen genau in sechs ausgezeichneten Punkten, den sogenannten K-Punkten, von denen jedoch nur zwei voneinander unabhängig sind (die übrigen sind durch die Gittersymmetrie zu diesen beiden äquivalent). In ihrer Umgebung hängt die Energie wie bei einem relativistischen Teilchen linear von \mathbf k ab (vgl. Photon:$$ E=\hbar |\vec{k}|)$$ Da die Basis zweiatomig ist, hat die Wellenfunktion sogar eine formale Spinorstruktur. Das führt dazu, dass die Elektronen bei niedrigen Energien durch eine Relation beschrieben werden können, die äquivalent zur Dirac-Gleichung ist, und das zusätzlich im sogenannten chiralen Limes, d. h. für verschwindende Ruhemasse M_0, was einige Besonderheiten ergibt:
$$ v_F\,\vec\sigma\cdot\vec\nabla \psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r}) $$
Hier bezeichnet $$ v_F\approx 10^6\ \mathrm{m/s}$$ die Fermi-Geschwindigkeit in Graphen, die an die Stelle der Lichtgeschwindigkeit tritt; $$\vec{\sigma} $$ bezeichnet die Pauli-Matrizen, $$ \psi(\mathbf{r}) $$die zweikomponentige Wellenfunktion der Elektronen und E ihre Energie.
