Tennismatch auf 3 gewonnene Sätze (Wahrscheinlichkeit)

Question

Anna und Joe spielen ein Tennismatch auf 3 gewonnene Sätze. Anna gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4. Joe gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit  von 0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für

a) das Match ohne Satzverlust zu gewinnen

b) das Match in 4 Sätze zu gewinnen

c) sie gewinnt das Match in 5 Sätze

Answer 1

Eine sehr ausführliche Darstellung würde hier den Rahmen sprengen. Schau mal auf folgende Seite:

http://mathematik.bildung-rp.de/fileadmin/user_upload/mathematik.bildung-rp.de/Sekundarstufe_II/MatheAG-SII/pdf/Tennisspiel.pdf

Dort ist eine Analyse wirklich sehr gut vorgemacht. Du kannst das leicht auf deine Aufgabe anwenden.

Comments

Ich komme bei Anna b) auf 15,36 %, stimmt das?

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Nein das stimmt leider nicht. Alle Ergebnisse von Gast sind richtig.

Die Richtige Antwort für b wäre also

b) das irgendjemand das Match in genau 4 Sätze gewinnt

0.1152 + 0.2592 = 0.3744 = 37.44%

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WICHTIG!

Die Wahrscheinlichkeiten von GAST gelten nur wenn es lautet:

Anna gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 EINEN SATZ !

Das ist aber so genau nicht in der Aufgabe formuliert. Wenn Anna einen einzelnen Ballwechsel mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.4 gewinnt, dann ist die Berechnung deutlich komplizierter.

Aber das ist vermutlich unwahrscheinlich, weil man sich dann mit den genauen Regeln vom Tennis auskennen müsste. Also wann genau ein Satz als gewonnen gilt.

Trotzdem weise ich hier nochmals auf meinen Link in meiner Antwort hin. Da ist das wirklich ausführlicher dargestellt.

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Ich habe auch mit der Binomialverteilung gerechnet, trotzdem mache ich irgendetwas falsch.

z.B. für c)

binompdf (n, p, k)

binompdf (5, 0,40, 3)

Ich komme da aber auf was komplett anderes... ich stehe mal wieder auf dem Schlauch ;)

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Das Problem ist, dass du mit der binomialverteilung nicht einfach rechnen kannst. Ich versuche es dir mal zu verdeutlichen.

a= Anna gewinnt

j= Joe gewinnt

Bei c) berechnest du mit der binomialverteilung alle Kombinationen von Anna gewinnt 3 Sätze und Joe zwei. Dabei kommt auch die Kombination a,a,a,j,j vor. Das Problem ist aber, dass es dieses Spiel nicht gibt, da dieses Spiel nach drei Sätzen zu Ende wäre. Wenn Anna 3 Sätze gewonnen hat, dann hat sie das Spiel gewonnen und dann werden nicht noch zwei weitere Sätze gespielt wo Joe gewinnt. Deswegen kannst du nicht alle Kombinationen berücksichtigen die rechnerisch möglich wären.

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Ich färbe mal den teil der Binomialverteilung rot. Man muss eben nur den letzten Satzgewinn heraus nehmen und ans Ende setzen.

a) Anna das Match ohne Satzverlust zu gewinnen.

P = 0.4^3 = 0.064 = 6.4%

b) Anna das Match in 4 Sätze zu gewinnen.

P = (3 über 2)·0.4^2·0.6^1 · 0.4 = 0.1152 = 11.52%

c) Anna das Match in 5 Sätze zu gewinnen.

P = (4 über 2)·0.4^2·0.6^2 · 0.4 = 0.13824 = 13.82%

d) Joe das Match ohne Satzverlust zu gewinnen.

P = 0.6^3 = 0.216 = 21.6%

e) Joe das Match in 4 Sätze zu gewinnen.

P = (3 über 2)·0.6^2·0.4^1 · 0.6 = 0.2592 = 25.92%

f) Joe das Match in 5 Sätze zu gewinnen.

P = (4 über 2)·0.6^2·0.4^2 · 0.6 = 0.20736 = 20.74%

Answer 2

für wen?

Anna:

a) 0,4 * 0,4 * 0,4 = 6,40 %

b) 3 * (0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,6) = 11,52 %

c) 6 * (0,4 * 0,4 * 0,4 * 0,6 * 0,6) = 13,824 %

Joe:

a) 0,6 * 0,6 * 0,6 = 21,60 %

b) 3 * (0,6 * 0,6 * 0,6 * 0,4) = 25,92 %

c) 6 * ( 0,6 ^3 * 0,4 ^2)   = 20,736 %

Summe = 100 %

Comments

Ich komme bei Anna b) und c) auf etwas anderes, stimmt denn diese Lösung??

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Ich würde sagen bei b) steht vorne nicht 3 sondern 4, also (4über3) damit hätte man 4*0,4^3*0,6=15,36%.

Bei c) müsste vorne 10 stehen, nämlich (5über3).

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Ich kann die Richtigkeit aller Ergebnisse von Gast bestätigen. Wer anderer Meinung ist sollte sich ein Baumdiagramm aufmalen. Ich habe vereinfacht über die Binomialverteilung gerechnet.

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Oha Doppelmist. Ich habe übersehen dass ja gar nicht alle rechnerisch möglichen Kombinationen gültig sind, da das Match sonst ja schon vorzeitig beendet wäre. Ich ziehe meinen Kommentar zurück, lasse ihn aber der Vollständigkeit halber stehen.

@Mathecaoch: Danke für die Berichtigung!

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WICHTIG!

Die Wahrscheinlichkeiten von GAST gelten nur wenn es lautet:

Anna gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 EINEN SATZ !

Das ist aber so genau nicht in der Aufgabe formuliert. Wenn Anna einen einzelnen Ballwechsel mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.4 gewinnt, dann ist die Berechnung deutlich komplizierter.

Aber das ist vermutlich unwahrscheinlich, weil man sich dann mit den genauen Regeln vom Tennis auskennen müsste. Also wann genau ein Satz als gewonnen gilt.

Trotzdem weise ich hier nochmals auf meinen Link in meiner Antwort hin. Da ist das wirklich ausführlicher dargestellt.