Vektorunterräume. Unterraum beweisen. Bsp. W= (λ+2μ, 3μ -λ, λ): λ,μ ∈ℝ

Question

Ich hätte eine Frage bezüglich von Vektorunterräumen. Ich soll durch passendes Beispiel/Gegenbeispiel zeigen, ob folgende Teilmengen zum Vektorraum R^3 gehören.

U= (x,y,z): 2x-3y+1=0

V= (cos α, sin α, 0): α∈R

W= (λ+2μ, 3μ-λ, λ): λ∈R

Bei den ersten beiden Teilmengen habe ich raus, dass es keine Unterräume sind. Der dritte scheint ein Unterraum zu sein, nur weiß ich nicht genau, wie ich zeigen soll, dass es ein Unterraum ist. Bisher konnte man das immer durch die Voraussetzung beweisen, aber in diesem Fall ist sie ja λ∈R. Ich stehe auf dem Schlauch und würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

W= (λ+2μ, 3μ -λ, λ): λ,μ ∈ℝ  

W = { λ • (1,-1,1) + μ • (2,3,0) |  λ,μ ∈ℝ }

W ist also der von den beiden linear unabhängigen Vektoren  (1,-1,1) und (2,3,0)  

"aufgespannte"  zweidimensionale Unterraum (Ebene durch den Ursprung).

Gruß Wolfgang

Comments

Also muss man nicht angeben, dass zwei Vektoren aus dieser Teilmenge addiert und ein Vektor aus dieser Teilmenge mit einem Skalar multipliziert immer noch im Vektorraum liegen? Weil bisher mussten wir das eigentlich immer so beweisen. Wie du darauf  "W = { λ • (1,-1,1) + μ • (2,3,0) |  λ,μ ∈ℝ } " gekommen bist, habe ich auch nicht ganz verstanden. Wäre nett, wenn du es ein bisschen ausführlicher erklärst.

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der in der Aufgabe angegebene Ausdruck ist der gleiche wie der von mir umgeformte (einfach ausrechnen und vergleichen.

Letzterer ist eine Basisdarstellung eines Unterraums, der sogenannten "lneare Hülle" von {(1,-1,1) und (2,3,0)}