Sind es Vektorunterräume, Basen

Question

Aufgabe:

Sind die folgenden Mengen Unterräume des R3?

(ii) \( V=\left\{\left(\begin{array}{c}\sin \alpha \\ 0 \\ \cos \alpha\end{array}\right) \mid \alpha \in \mathbb{R}\right\} \)
(iii) \( W=\left\{\left(\begin{array}{c}3 \lambda+2 \mu \\ \mu-\lambda \\ 2 \lambda\end{array}\right) \mid \lambda, \mu \in \mathbb{R}\right\} \)
c) Sei \( \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \) eine Basis eines \( \mathbb{R} \)-Vektorraums \( V \). Sind dann
(i) \( \left\{2 \vec{v}_{1}+\vec{v}_{3}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \) bzw. (ii) \( \left\{\vec{v}_{1}+\vec{v}_{3}, \vec{v}_{2}+\vec{v}_{3}, \vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}\right\} \) eine Basis von \( V \) ? Begründen Sie Ihre Behauptungen.

Answer 1

(ii) nicht, weil z.B. i. allg. sin α + sin ß nicht gleich sin(α+ß).

(iii) Das ist einer. Zeige \(  \vec{0} \) ∈ W

und für x,y ∈ W ist auch die Summe drin und

für jedes a∈ℝ auch a*x.

c) Wähle den Ansatz (mit a,b,c ∈ℝ)

\( a \cdot (2 \vec{v}_{1}+\vec{v}_{3}) + b \cdot \vec{v}_{2}+c \cdot \vec{v}_{3} = \vec{0} \)

==> \( 2a \cdot \vec{v}_{1} +b \cdot \vec{v}_{2} +( a+c) \vec{v}_{3}  = \vec{0} \)

==> 2a=0      b=0     a+c=0  also a=b=c=0.

also sind die 3 lin. unabh.