(G,*) ist eine Gruppe, z.z. dass e = e^−1 und (g^-1)^-1 = g

Question

Wie kann man allgemein zeigen, dass in (G,*) [Der Stern ist eine Verknüpfung und kein Malzeichen]

e = e⁻¹

und

(g⁻¹)⁻¹ = g für alle g ∈ G

gilt? In der Überschrift ist es nicht ganz so schön. Mir fällt es schwer, das formal zu zeigen.

LG

Answer 1

das erste folgt direkt aus der Neutralität von \(e\):

$$ e^{-1} = e * e^{-1} = e $$

und das Zweite bspw. aus der Assoziativität der Verknüpfung \(*\):

$$ g = g * e = g * (g^{-1} * (g^{-1})^{-1}) = (g * g^{-1} )* (g^{-1})^{-1}= e * (g^{-1})^{-1} = (g^{-1})^{-1} $$

Gruß

Comments

Erstmal vielen Dank, beim ersten war meine Idee dann wenigstens richtig! Nur kam mir das zu einfach vor..

Beim zweiten versteh ich nicht ganz, wie du von

g * e  auf

g * (g⁻¹ * (g⁻¹)⁻¹) kommst.

e kann man als g * g⁻¹ darstellen also müsste dort nicht eigentlich

g * (g * g⁻¹) stehen?

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Dass \(e = g * g^{-1} \) nach Def. gilt benutzen wir ja direkt danach.
\((g^{-1})^{-1} \) soll ja das inverse Element zu \(g^{-1} \) sein, deswegen gilt natürlich auch nach Def.\( e = g^{-1}*(g^{-1})^{-1}\)

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Oh, das macht Sinn! Also kann man e als jedes beliebiges Element verknüpft mit seinem Inversen darstellen. Danke nochmal, jetzt ist alles verständlich!

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Ja, so sind inverse Elemente in einer Gruppe definiert ;). Gerne.

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Ich hab nur nicht daran gedacht, dass g^-1 auch ein Inverses haben kann mit (g^-1)^-1. Ist natürlich vollkommen logisch. Erstsemester Mathe, ich hoffe das kommt irgendwann von alleine :p