Für das Leibnizkriterium musst du zeigen, dass die Summanden
1. eine alternierende Folge bilden ( ist wohl klar wegen (-1)^n )
2. die Beträge eine monoton fallende Nullfolge bilden
a) monoton fallend: Dann muss |an| > | an+1| für alle n aus N gelten.
Rechnung zeigt: |an| > | an+1|
⇔ 1 / wurzel(5n) > 1 / wurzel(5(n+1)) da alles positiv gilt:
⇔ wurzel(5(n+1)) > wurzel(5n)
was wegen der Monotonie der Wurzelfunktion führt auf
⇔ 5n+5 > 5n
⇔ 5 > 0 also offenbar wahr.
Nullfolge ist wohl klar, da Zähler = 1 und Nenner gegen unendlich geht.
Bei der 2. Reihe ist etwas kniffliger, weil es nicht von Anfang an
monoton fallend ist. Das stört aber nicht, da man ja die ersten
Summanden extra betrachten kann ( gibt einen endlichen Wert)
und sozusagen nur auf die letzten unendlich vielen das Kriterium anwendet.
Der Tipp hilft ja etwas: so ab etwa n=9 scheint die Folge der Beträge monoton
fallend zu sein. Nullfolge ist klar, da ein ganzrationaler Term von n durch
e^n immer eine Nullfolge liefert.
Monotonie: Sei n > 9 . Und es ist zu prüfen
(n-6)^2 / e^n > ( n+1-6)^2 / en+1
⇔(n-6)^2 / e^n > ( n-5)^2 / en+1
⇔(n-6)^2 * en+1 > ( n-5)^2 * en | : e^n ist pos.
⇔(n-6)^2 * e > ( n-5)^2 | : (n-6)^2 ist. pos, weil n>9
⇔ e > ( n-5)^2 : (n-6)^2
⇔ e > 1 + 2/(n-6) + 1 / (n-6)^2
und für n>9 ist n-6 > 3 also 2/(n-6) < 2/3
und (n-6)^2 > 9 also 1 / (n-6)^2 < 1/9
also 1 + 2/(n-6) + 1 / (n-6)^2 < 1 + 2/3 + 1/9 < 2
Und bekanntlich ist e > 2 wahr.
