die funktion f(x) = x*e^{1-x/2}

Question

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = x*e^1-(x/2)

1.) Untersuchen Sie das Verhalten von f für x-> -∞ sowie für x-> + ∞

2.) Weisen Sie nach, dass der Graph von f einen Hochpunkt hat und geben sie dessen Koordinaten an.

3.) Bestimmen Sie den Wendepunkt. Erläutern Sie kurz die beiden möglichen Vorgehensweisen.

Wie bestimmt man nochmal einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt (Extremstellen) ? Ich meine, man muss die erste Ableitung gegen Null stellen, richtig?

Und stimmt es, dass man für die Bestimmung des Wendepunktes die zweite Ableitung gegen Null stellen muss? Wie leitet man die oben genannte Funktion jedoch ab? Bis jetzt hatte ich es eigentlich immer verstanden, aber diese Funktion bringt mich ein bisschen durcheinander.

Answer 1

1.)

x->- ∞ :    GW:  -∞

x---> +∞   GW:  :0

2.)

f''(x_e)= 0

f'' (x_e)< 0 -<Hochpunkt

Lösung (2:2)

3.)Wendepunkt:

f''(x_e)=0

f'''(x_e) ≠ 0

Lösung: 4; 1.47)

Comments

Danke für die Antwort. Was bedeutet jedoch f''(x_e)= 0 ? Ich verstehe den Unterstrich nicht ganz. Und was heißt GW? Warum heißt es  x---> +∞   GW:  :0 ? Wo kommt die 0 her?

Könnten sie mir bitte Nummer 2) etwas genauer mit dem Rechenweg erklären? Wenn möglich auch 3). Vielen Dank schonmal, ich bin wirklich gerade leicht am verzweifeln.

Answer 2

$$ f(x) = x\cdot e^{1-\frac x 2}$$

Produktregel

$$ u= x\cdot e^{\frac{2- x }2}$$

$$ v =  e^{1-\frac x 2}$$

Kettenregel

$$w={1-\frac x 2}$$

Answer 3

Für eine Extremstelle muss die erste Ableitung an diesem Punkt gleich null.

Das reicht aber noch nicht.

Zusätzlich muss die zweite Ableitung an dieser Stelle kleiner null sein, damit es ein Maximum ist. (größer null für ein Minimum)

Für einen Wendepunkt muss die zweite Ableitung an dieser Stelle gleich null sein, wie du schon geschrieben hast. (Die erste muss in diesem Fall nicht null sein.)

Hier brauchst du für die Ableitung die Produktregel.

Also (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)