Welche der Reihen konvergieren?

Question

Ich brauche Hilfe bei diesen Aufgaben. Ich weiß zwar, dass ich mit dem Majoranten- und Minorantenkriterium vorgehen soll, habe aber keine wirkliche Ahnung wie ich das machen soll.
Für einen Lösungsweg oder einfach nur Hilfe zur Lösung der Aufgabe wäre ich sehr dankbar!

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Ich suche weitere Hilfe bei folgendes Aufgaben und Bitte daher um die Mühe und HIlfe für alle Lösungen:

Welche der folgenden Reihen konvergieren?

$$ (Jede Summe sollte so aussehen -> \sum _{ n=1 }^{\infty } $$

1.) ∑(3n über n)^-1

2.) ∑ n^k / (n^m + m^k)    mit k, m ∈ ℕ (Fallunterscheidung)

3.) ∑ nⁿ / ((-√n)³ⁿ)

4.) ∑ (ⁿ√2-1)

(Ich hoffe das es einigermaßen erkennbar ist, bei mir wird wie im Tutorial leider kein Formeditior angezeigt)

Hinweis: Sie dürfen benutzen, dass lim (1 + x/n)ⁿ = e^x für jede reelle Zahl x gilt.

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leider nur Teilaufgabe a) beantwortet

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Fallunterscheidung bei b) zum Beispiel:

1. \( k+2 \leq m \)

2. \( k+1 =m \)

3. \( m \leq k \).

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Lieg ich das richtig, dass c) und d) divergieren?

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c) konvergiert (Leibniz)

d) divergiert ja.

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Sicher, dass c) konvergiert? Hab das mal bei Wolfram Alpha eingegeben, die sagen, dass es divergiert

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Ich hab genug vertrauen zu Wolfram Alpha, dass ich mir sogar sicher bin, dass du es falsch eingegeben hast.

Answer 1

zu a)  $$ \begin{pmatrix} 3n\\n\end{pmatrix} = \prod_{k=0}^{n-1}{\frac { 3n-k }{ n-k }}$$
also der Kehrwert
$$= \prod_{k=0}^{n-1}{\frac { n-k }{ 3n-k }}$$
und die Faktoren in diesem Produkt sind allesamt ≤ 1/3 denn

(3n-k)/(n-k) ≤ 1/3

⇔ 9n-3k ≤ n-k

⇔ 8n ≤ 2k

⇔ 4n ≤ k

ist für k=0 bis n-1 sicherlich erfüllt.

Also ist das ganze Produkt kleiner als (1/3)^n 

Und damit ist die geometrsche Reihe mit q=1/3 eine

konvergente Majorante, also deine Reihe auch konvergent.

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Hat wer eine Lösung für alle Teilaufgaben?

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Die Aufgaben interessieren mich ebenfalls, hat wer einen Rat wie man die Lösen kann?