Ungleichung n! ≥ 2(n/2)^n zeigen. Ist mein Rechenweg bisher richtig? wie rechne ich weiter?

Question

Hallo ich stehe vor folgender Aufgabe^^

nur weiß ich nicht, ob das bis jetzt richtig ist und wie ich nun weiter komme..

kann mir jemand einen Tipp geben oder den Lösungsweg beschreiben?

Answer 1

Induktionsschritt:   n!  ≤  2 • (n/2)ⁿ   ⇒   (n+1)!  ≤  2 • [ (n+1) / 2 ]ⁿ⁺¹ 

Nachweis:

(n+1)!  = (n+1) • n!   ≤_IV   (n+1) • 2 • (n/2)ⁿ =  (n+1) • 2 •  nⁿ/ 2ⁿ = (n+1) • 4 • nⁿ/ 2ⁿ⁺¹

=  4 • (n+1)ⁿ⁺¹/ 2ⁿ⁺¹ • nⁿ/ (n+1)ⁿ  =  2 • [ (n+1) / 2]ⁿ⁺¹ • 2 • [ n/(n+1) ] ⁿ 

≤   2 • [ (n+1) / 2] ⁿ⁺¹ , wenn 2 • [ n/(n+1) ]ⁿ ≤ 1 gilt.

Da 2 • [ n/(n+1) ]ⁿ ≤ 1 für  n=1 wahr ist [ ( 2• 1/2)¹ = 1 ≤ 1 ], genügt der Nachweis, dass die Funktion 

x ↦ [ x / (x+1) ] ^x  für  x>0 streng monoton fallend ist. [#]

Letzteres sieht man folgendermaßen ein:

 [ x / (x+1) ] ^x  = [ e^[ ln ( x / (x+1)) ] ] ^x  = e^{x · ln( x / (x+1) )} 

ln ( x / (x+1) ) < 0 wegen x / (x+1) < 1  und x ↦ e^-x  streng monoton fallend 

→  [#]

Vielleicht geht es einfacher, aber mir fällt nicht Besseres ein!

Gruß Wolfgang 

Comments

Danke erstmal für deine Antwort :)

müsste ich beim Induktionsschluss nicht die Voraussetzung für n! einsetzen und dann zeigen, dass es auch für n+1 gilt?
ich weiß leider nicht genau, was ich hier bewiesen habe..
mit deiner Antwort bin ich wieder auf die Ungleichung gekommen, die im Induktionsschluss steht oder?
Habe ich damit schon die Behauptung bewiesen?

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Du hast recht. Ich bin von deiner letzten Zeile ausgegangen.

Du bist leider von der Induktionsbehauptung ausgegangen und diese kam wieder raus.

Immerhin haben wir gut gerechnet  :-), aber leider nichts bewiesen.

Habe die Aufgabe korrigiert!