Beweise: lim n->infty a^{n} = 0, 0<a<1

Question

wie beweise ich, dass $$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ { a }^{ n } } =\quad 0$$ für 0<a<1 ?

Answer 1

sei \(\varepsilon>0\) beliebig vorgegeben. Wähle \(N\in\mathbb N\) so groß, dass \(N>\dfrac{\log\varepsilon}{\log a}\) gilt.
Dann gilt für alle \(n\in\mathbb N\) mit \(n>N\)$$\large\vert a^n-0\vert=a^n< a^N< a^\frac{\log\varepsilon}{\log a}=\varepsilon.$$

Comments

Vielen Dank für die Antwort :-)

Das Vorgehen war praktisch nur vom vermuteten Grenzwert auszugehen, dann Grenzwert und Folge in das Konvergenzkriterium einzusetzen und nach N umzustellen?

Und somit hat man dann gezeigt, dass es ein N zum Grenzwert 0 gibt, dass die Bedingungen des Kriteriums erfüllt?