Ableiten arctan(wurzel(x)

Question

Ich kenn nur aus der formelsammlung

arctan(x)

'= 1/(x^2 +1)

Aber wie man drauf kommt ist mit nicht ganz sicher.

Mir würde es helfen wie man das ableitet

dann würde ich eigentlich ganz gern alleine versuchen die ableitung davon zu machen.

Danke

immai

Answer 1

Es gibt ja den Satz von der Ableitung der Umkehrfunktion:

Bei f :  x → y   hat die Unkehrfunktion f_quer die Ableitung

f_quer ' (y) = 1 /  f(x) .  Wenn du das mit arctan(x) = y   also   x = tan( y )  machst, bekommst

du nachher  f _quer ' (x) = 1 / 1 + x^2  heraus

wenn du die Abl. von tan(x) in der Form 1+tan^2(x) schreibst.

Comments

Für deine eigentliche Aufgabe brauchst du dann nur noch die Kettenregel.

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Die ganze funktion geht eigentlich so

f(x)= x^{2} × arctan(wurzel(x)))

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Da würde ich erst mal partielle Integration versuchen

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Also ich hab jetzt gelernt wir man von

y=arctan(x)

y'=1/1+x^2    kommt.

Wir hatten bisher nur ableiten

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Ach so, du willst das nur ableiten.

Da nimm Produktregel und Kettenregel.

Du kennst sicher  :  Abl. von f*g =  f ' * g + f * g '

hier also f=x^2  und g=arctan(wurzel(x))

dann ist f ' = 2x und  g ' = 1 / ( 1+(wurzel(x))^2 )    *  1/2*wurzel(x) wegen Kettenregel

also insgesamt die Abl:

2x*arctan(wurzel(x)) + x^2 * (   1 / ( 1+(wurzel(x))^2 )    *  1/2*wurzel(x) )

und das vielleicht noch etwas zusammenfassen

Answer 2

y= arctan(√x)

z=√x

y= arctan(z)

dy/dz= 1/(z^2+1)

dz/dx= 1/(2√x)

---------->

y'= dy/dz *dz/dx= ........................

Comments

Danke aber wie kommt von simplen arctan (x)

Auf die anleitung?