bei der Definition von Konvergenz betrachtet man beliebige \(\varepsilon > 0 \). In dem verlinkten Beweis (Eindeutigkeit des Grenzwertes) wird auf ein gewisses Ziel hingearbeitet: Hier der Widerspruch, der zeigt, dass es im Konvergenzfall nur einen Grenzwert geben kann.
Wurde ε= Ia-bI /3 beliebig gewählt?
Oft weiß man bei einem Beweis, wo man eigentlich hin möchte (hier zum Widerspruch) und wählt das \(\varepsilon\) dementsprechend. Genauso gut hätte man \( \varepsilon = \frac{22|a-b|}{1000} \) nehmen können. Was das \(\varepsilon\) erfüllen muss, damit man es im Beweis benutzen kann: Durch Einsatz der Dreiecksungleich wird mit dem doppelten von \(\varepsilon\) abgeschätzt, damit sich ein Widerspruch ergibt, muss dieses doppelte aber unbedingt kleiner sein als \(|a-b|\). Die konkrete Wahl von \(\varepsilon\) im Beweis aus dem Link ist einfach die naheliegendste (für den Autor).
Wäre bspw. auch ε= Ia-bI /2 auch okay , wenn ja warum?
Nein dies wäre nicht zielführend, dann würde die Argumentation nicht funktionieren was du gerne selber nachrechnen kannst.
Gruß
