Differenzierbarkeit mit der H-Methode zeigen?

Question

Ich möchte diese Funktion mit der H-Methode differenzieren

√(2*√(x^3)+1)

f'(x) = lim h->0   f(x+h)-f(x) / h

f'(x) = lim h->0  √(2*√((x+h)^3)+1) - √(2*√(x^3)+1) / h

mein Problem ist nun, ich darf natürlich nicht durch h = 0 dividieren und muss das ganze so umstellen, dass ich das h kürzen kann.

Aber wie mache ich das? Ich habe das ganze schon quadriert um die Wurzeln wegzubekommen, das hat aber nicht geholfen...Erweitert mit √(2*√((x+h)^3)+1) habe ich auch schon.

Herzlichen Dank schon mal :)

Answer 1

du hast einen Ausdruck  der Form   [ √A(h)  - √B ] / h.

Wenn du diesen Bruch mit   √A(h)  + √B erweiterst, fallen mit Hilfe der dritten binomischen Formel die (äußeren) Wurzeln im Zähler weg und du erhältst wieder einen Ausdruck dieser Form.

Dann wiederholst du den "Vorgang" analog.

Jetzt kannst du h wegkürzen und problemlos den Grenzübergang vollziehen.

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

ich habe dies gemacht und komme dann auf:

(2*√(x+h)^3+1)  - (2*√(x)^3+1)   / h* (√(2*√((x+h)³)+1) + √(2*√(x)^3+1))

wenn ich im Zähler einen Term mit h und einen ohne h habe, dann kann ich doch nicht kürzen?

Was mach ich denn falsch?

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In der Antwort steht sinngemäß: "das Ganze nochmal!"

Wenn du im Zähler die Klammern auflöst, zusammenfasst und 2 ausklammerst,

hast du die Form  2 • ( √A(h) - √B ).

Nochmal auf die gleiche Art erweitern, innere Klammer auflösen, zusammenfassen (x³ fällt weg, in jedem anderen Summanden kommt h als Faktor vor),  h ausklammern .

Dann kannst du h kürzen.

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Hat perfekt geklappt

:D