Differenzierbarkeit zeigen. a) f(x) = √(x) + x^2 - 2x + 9, b) f(x) = (2x^2 - 8)/(4x), c) f(x) = (x^2 + 7x - 3)^100

Question

Hallo die Herren,

ich bin gerade dabei zu lernen, wie man überprüft, ob eine Funktion auf den größtmöglichen Definitionsbereich differenzierbar ist. Um einen Gefühl dafür zu kriegen muss ich einfach ein paar Beispiele sehen um das Vorgehen besser verstehen zu können.

Daher bitte ich euch, dass ihr mir anhand dieser drei Beispiele bitte auch mit Erklärung erläutern würdet, wie man Differenzierbarkeit einer Funktion zeigen kann. Gibt es denn ein allgemeines Vorgehen?

Ich danke euch vielmals!

Differenzierbarkeit von Funktionen beweisen. a) f(x) = √(x) + x^2 - 2x + 9, b) f(x) = (2x^2 - 8)/(4x), c) f(x) = (x^2 + 7x - 3)^100 

Comments

Weil die Wurzel von x an der Stelle x=0 definiert ist, aber ihre Ableitung nicht existiert, dürfte es bei a) Probleme geben.

b) und c) Wenn du eine Ableitung ausrechnen kannst und die nicht mehr Definitionslücken hat, als die gegebene Funktion, ist die Funktion auf dem ganzen Definitionsbereich differenzierbar. 

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Ich muss das in der Form $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$$ beweisen können. Jedoch weiß ich nicht wie.

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Bist du sicher, dass ihr jedes Mal bei den Definitionen anfangen müsst? Habt ihr noch gar keine Sätze zur Differenzierbarkeit gelernt? 

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Wir haben quasi zwei Definitionen kennen gelernt. Die zweite wäre:

Es sei x₀ ∈ I.  Eine Funktion f: I→ℝ heißt differenzierbar auf I, falls sie in allen Punkten x₀ ∈ I differenzierbar ist. In diesem Fall wird durch x ↦ f '(x) für x ∈ I einen Funktion f ' : I→ℝ definiert. Diese Funktion heißt  Ableitung oder auch  Ableitungsfunktion von f auf I.

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Und was meinst du mit Wenn du eine Ableitung ausrechnen kannst und die nicht mehr Definitionslücken hat, als die gegebene Funktion, ist die Funktion auf dem ganzen Definitionsbereich differenzierbar. 

Answer 1

Das darf man in der Regel verwenden sobald man ein paar Ableitungsregeln gezeigt und geübt hat. 

nicht mehr Definitionslücken 

1. Man bestimmt den Definitionsbereich von f.

2. Man leitet ab. --> f '

3. Man bestimmt den Definitionsbereich von f ' 

4. Man vergleicht 1. und 2. 

Comments

Das Ableiten funktioniert ja mehr oder weniger algorithmisch. D.h. ich weiß, was du mit Schritt zwei meinst. Wie ich den Definitionsbereich bestimme weiß ich nicht. Kannst du mir es den explizit für eine Funktionen jeweils deine Schritte vorführen? 

 

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Differenzierbarkeit von Funktionen beweisen. 

a) f(x) = √(x) + x^2 - 2x + 9, 

1.

Polynome sind definiert auf ganz R. Also x^2 - 2x + 9 ist auf ganz R definiiert.

√(x) ist definiert für x≥ 0.

Die Summe der beiden ist definiert für x≥0.

Also D(f) = { x Element R | x≥ 0} 

b) f(x) = (2x^2 - 8)/(4x),

1. Der Zähler ist definiert für alle x Element R, der Nenner auch. 

Aber der Quotient (Bruch) und damit g nur, wenn der Nenner nicht 0 ist. Also 4x ≠ 0. 

Also D(f) = { x Element  R | x≠ 0} 

c) f(x) = (x^2 + 7x - 3)^100

1. f(x) ist ein Polynom vom Grad 200. Das ist auf ganz R definiert.

Also D(f) = { x Element  R} 

2. Die Ableitung ist ein Polynom vom Grad 199 und 

3. immer noch auf ganz R definiert.

4. D(f) = D(f ') . q.e.d. f ist auf dem maximalen Definitionsbereich differenzierbar. 

Bei a) und b) solltest du noch die Punkte 2. 3. und 4. erledigen.