Differenzierbarkeit von Funktionen beweisen.
a) f(x) = √(x) + x^2 - 2x + 9,
1.
Polynome sind definiert auf ganz R. Also x^2 - 2x + 9 ist auf ganz R definiiert.
√(x) ist definiert für x≥ 0.
Die Summe der beiden ist definiert für x≥0.
Also D(f) = { x Element R | x≥ 0}
b) f(x) = (2x^2 - 8)/(4x),
1. Der Zähler ist definiert für alle x Element R, der Nenner auch.
Aber der Quotient (Bruch) und damit g nur, wenn der Nenner nicht 0 ist. Also 4x ≠ 0.
Also D(f) = { x Element R | x≠ 0}
c) f(x) = (x^2 + 7x - 3)^100
1. f(x) ist ein Polynom vom Grad 200. Das ist auf ganz R definiert.
Also D(f) = { x Element R}
2. Die Ableitung ist ein Polynom vom Grad 199 und
3. immer noch auf ganz R definiert.
4. D(f) = D(f ') . q.e.d. f ist auf dem maximalen Definitionsbereich differenzierbar.
Bei a) und b) solltest du noch die Punkte 2. 3. und 4. erledigen.