Rekonstruktion von Beständen

Question

Der Wasserstand im Staubecken eines Gezeitenkraftwerks verändert sich im laufe des Tages durch ein- und ausströmendes Wasser. Die Änderungsrate kann durch die Funktion h'(t) = 1/216*(5t²-120t+480) erfasst werden (t in Stunden, h in m/Std.). Zur Zeit t = 0 beträgt der Wasserstand 5m. 

a) Wann war der Wasserstand am höchsten bzw. am niedrigsten?

b) Wann ändert sich der Wasserstand am schnellsten? Wie schnell änderte er sich? 

Comments

zu a): man muss dies in h(t) einsetzten

h(t) = 1/216*(5/3t³-60t²+480t)

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die a) hat was mit Hochpunkt und Tiefpunkt zu tun, jedoch weiß ich nicht wie man jetzt ganz vorgeht

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Hallo Gast dh2022,

ich glaube Du hast beim Integrieren die Konstante einfach weggelassen :-)

$$h(t)=\frac{1}{216} \cdot ( \frac{5}{3} t^3 - 60t^2+480t) + c$$

c ergibt sich dann aus h(0)=5.

Hallo Gast,

a) Hoch- und Tiefpunkte von h(t) bestimmen, wie bei jeder anderen Funktionsanalyse. Notwendiges Kriterium und hinreichendes Kriterium überprüfen...

b) Die Änderungsrate wird durch h'(t) beschrieben, also hier Hoch- und Tiefpunkte von h'(t) bestimmen. Man kann dann auch h'(t) = g(t) setzen, und die Extrempunkte von g(t) berechnen, damit man mit der x-ten Ableitung bei den Kriterien nicht durcheinander kommt.

Gruß

Answer 1

(t in Stunden, h in m/Std.)

h'(t) = 1/216*(5t²-120t+480) = 0     →   t = 5.071796769   oder    t = 18.92820323

Im 1.Fall  Vorzeichenwechsel  von + → -   →  Hochpunkt  (höchster Wasserstand)

Im 1.Fall  Vorzeichenwechsel  von - → +   →  Tiefpunkt  (tiefster Wasserstand)

h ''(t) = 5 • (t - 12)/108 = 0  → t = 12  (Zeitpunkt der schnellsten Änderung)

h'(12) = - 10/9  ≈ -1,11  →  folgt momentane Abnahme um 1,11 m/h

Gruß Wolfgang