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Der Wasserstand im Staubecken eines Gezeitenkraftwerks verändert sich im laufe des Tages durch ein- und ausströmendes Wasser. Die Änderungsrate kann durch die Funktion h'(t) = 1/216*(5t2-120t+480) erfasst werden (t in Stunden, h in m/Std.). Zur Zeit t = 0 beträgt der Wasserstand 5m. 

a) Wann war der Wasserstand am höchsten bzw. am niedrigsten?

b) Wann ändert sich der Wasserstand am schnellsten? Wie schnell änderte er sich? 

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zu a): man muss dies in h(t) einsetzten

h(t) = 1/216*(5/3t^3-60t^2+480t)

die a) hat was mit Hochpunkt und Tiefpunkt zu tun, jedoch weiß ich nicht wie man jetzt ganz vorgeht

Hallo Gast dh2022,

ich glaube Du hast beim Integrieren die Konstante einfach weggelassen :-)

$$ h(t)=\frac{1}{216} \cdot ( \frac{5}{3} t^3 - 60t^2+480t) + c $$

c ergibt sich dann aus h(0)=5.


Hallo Gast,

a) Hoch- und Tiefpunkte von h(t) bestimmen, wie bei jeder anderen Funktionsanalyse. Notwendiges Kriterium und hinreichendes Kriterium überprüfen...

b) Die Änderungsrate wird durch h'(t) beschrieben, also hier Hoch- und Tiefpunkte von h'(t) bestimmen. Man kann dann auch h'(t) = g(t) setzen, und die Extrempunkte von g(t) berechnen, damit man mit der x-ten Ableitung bei den Kriterien nicht durcheinander kommt.

Gruß

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(t in Stunden, h in m/Std.)

h'(t) = 1/216*(5t2-120t+480) = 0     →   t = 5.071796769   oder    t = 18.92820323

Im 1.Fall  Vorzeichenwechsel  von + → -   →  Hochpunkt  (höchster Wasserstand)

Im 1.Fall  Vorzeichenwechsel  von - → +   →  Tiefpunkt  (tiefster Wasserstand)

h ''(t) = 5 • (t - 12)/108 = 0  → t = 12  (Zeitpunkt der schnellsten Änderung)

h'(12) = - 10/9  ≈ -1,11  →  folgt momentane Abnahme um 1,11 m/h

Gruß Wolfgang

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