Trennung der Variablen zur Lösung einer DGL

Question

Huhu, eine meiner größten Schwächen sind leider noch immer Differenzialgleichungen. Davon kriege ich immer noch Albträume und wache Nachts schweißgebadet auf ;)

Zur Zeit habe ich folgende Aufgabe:

Verwenden Sie die Methode Trennung der Variablen zur Lösung der Differentialgleichung:

mittels unbestimmter Integration. Überprüfen Sie anschließend Ihre Lösung x(t) auf Richtigkeit (Probe machen). Letztendlich verwenden Sie die Anfangsbedingung x(t = 0) = x0 und bestimmen die mathematische Integrationskonstante.

Leider habe ich keine Ahnung was ich zu tun habe, da unser Prof. das leider erst nächste Woche in der Vorlesung dran nimmt, ich aber dann keine Zeit mehr für Hausaufgaben aufwenden kann und ich doch lieber ein möglichst arbeitsfreies Wochenende haben möchte... Vielleicht kann es mir ja einer von euch erklären.

Answer 1

Trennung der Variablen bedeutet, Du formst so um das jede Variable auf einer Seite ist.

λ ist dabei eine Konstante

dx/dt = -λ *x^2 | *dt

dx=  -λ *x^2  *dt |: x^2

dx/x^2 = -λ  *dt

int (1/x^2) dx = int ( -λ  )dt

-1/x= -λ *t +C |  *(-1)

1/x= λ *t -C

x= 1/(λ *t -C )

Die Probe machst Du , indem Du diese Lösung einmal ableitest und in die Aufgabe einsetzt.

Wenn die Lösung stimmt, muß die linke Seite = rechten Seite sein.

Zum Schluß mußt noch die AWB in die Lösung einsetzen und die Konstante bestimmen

Dann setzt Du die Konstante in die Lösung ein.

Comments

Als Ableitung habe ich jetzt ja:

eingesetzt wäre das:

bzw.

was ja stimmt ;)

Was ist jetzt die AWB?

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Letztendlich verwenden Sie die Anfangsbedingung x(t = 0) = x0 und bestimmen die mathematische Integrationskonstante.

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Mit x(t=0) = x0 bekomme ich dann:

Stimmts?

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Oh, eigentlich -1/x0= C 

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Oh, eigentlich -1/x0= C  ---->ja

Das C mußt Du dann noch in die Lösung einsetzen , das ist alles.