punktsymmetrie bei gebrochenrationaler funktion untersuchen

Question

f(x)= 2x³/ (1-x²)

f(-x)= -2x³ / (1-x²)

Gibt es dann für -f(x) zwei verschiedene Möglichkeiten? Einmal den Zähler mit -1 multiplizieren und einmal den Nenner oder gibt es nur eine gültige Variante?

-f(x) = -2x³/ (1-x²)     und

-f(x) = 2x³ / (-1+x²)

Für den Fall, dass ich den Zähler mit -1 multipliziere, liegt ja ein Punktsymmetrie vor. Für den Fall, dass ich den Nenner mit -1 multipliziere nicht, da ja -f(x) ≠ f(-x).

Und nur mal angenommen man kann ein Symmetrieverhalten nachweisen, aber der Definitionsbereich ist nicht symmetrisch, liegt dann trotzdem ein Symmetrieverhalten vor?

Ich hoffe mir kann jemand meine Fragen kurz beantworten.

LG

Answer 1

du musst f(-x) bilden, das wäre bei der ersten

f(-x)= 2(-x)³/ (1-(-x)²)= - 2x³/ (1-x²)=  - f(x)  also sym. zu (0;0).

Comments

ob im Zähller oder im Nenner der Faktor -1 erscheint, ist egal, da
- a / b   =  a / - b   =   -  (a/b) .

Nur wenn er bei beiden ist, dann kannst du ihn kürzen und
es ist dann   = f(x)  also Sym. zur y-Achse.

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Wenn aber der Definitionsbereich nicht symmetrisch wäre, kann die Funktion auch nicht symmetrisch sein, oder?

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Genau so ist es, oder du musst den Def-bereich anpassen.

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OK!

Nochmal kurz zur Punktsymmetrie. Du sagtest ja es ist egal, im Nenner oder im Zähler -1 zu multiplizieren. Bei meiner Funktion ist die Funktion aber nur punktsymmetrisch, wenn ich den Zähler mit -1 multipliziere.

-f(x) = -2x³/ (1-x²)     Zähler

-f(x) = 2x³ / (-1+x²)  Nenner

Nur der Nenner wäre gleich f(-x).

Warum ist das hier s?

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2x³ / (-1+x²)  

erweitere mal ( das ändert ja den Wert eines Bruches nicht) mit -1, dann hast du

- 2x^2 / -(-1+x²)  

= - 2x^2 / (1-x²)    passt !

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Stimmt! ;)

Answer 2

Der Zähler hat ungerade Symmetrie und der Nenner gerade. Insgesamt hast du also Punktsymmetrie in Bezug auf den Nullpunkt; war das deine Frage?