Untergruppe von Gruppenhomomorphismen beweisen?

Question

Sei φ : G1 −→ G2 ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:

1. (a)  ker (φ) ⊂ G1 und Im (φ) ⊂ G2 sind Untergruppen.

2. (b)  Ist φ ein Isomorphismus, dann ist auch die Umkehrabbildung φ−1 : G2 −→ G1

Könnte jemand wenigstens die erste Aufgabe mit kurzer Erläuterung lösen? :( Wäre die Rettung!

Answer 1

Du zeigst einfach nur die Definition einer Untergruppe.

Ich zeige dir das an ker(φ).

1) Wenn g,h ∈ ker(φ), dann g•h ∈ ker(φ)

2) Wenn g ∈ ker(φ), dann g^-1 ∈ ker(φ)

zu 1) Wenn g,h ∈ ker(φ), dann φ(g) = φ(h) = e. (e ist das neutrale Element, Definition des Kerns)

Als nächstes φ(g)•φ(h) = e•e = e (Eigenschaft des neutralen Elements)

Daraus e = φ(g)•φ(h) = φ(g•h) (Gruppenhomomorphismus)

Damit g•h ∈ ker(φ)

zu 2) Wenn g ∈ ker(φ), dann φ(g) = e

Es folgt e = φ(e) = φ(g•g^-1) = φ(g)•φ(g^-1) = e•φ(g^-1) = φ(g^-1), (φ(e) = e, da Gruppenhom.)

Somit g^-1 ∈ ker(φ)

⇒ ker(φ) Untergruppe von G1

Comments

:)  habs teilweise sogar verstanden