Kurvendiskussion einer Funktionsschar mit Logarithmus

Question

Huhu an die Mathe-Genies,


ich habe folgende Funktion gegeben:

f _n (x) =  x ^-n  *  ln (x²)

Es soll der Grenzwert für x → ∞  mithilfe von L'Hospital berechnet werden.

Weiterhin soll eine Kurvendiskussion durchgeführt werden, die Nullstellen, Extrema, Monotonie (für n ∈ N\{0}), Tangentengleichung und Schnittwinkel mit der x-Achse beinhaltet. Man soll auch zeigen, dass alle Funktionen der Schar einen Schnittpunkt mit der x-Achse haben.

Ich habe mal angefangen und die erste Ableitung berechnet, meine Lösung dafür wäre:

f '_n (x) = -nx ^-n-1 * ln (x²) + x ^-n / x²


Die Nullstelle meiner Lösung läge dann bei x = 0 , Definitionsmenge wäre für mich R. Die zweite Ableitung ist bei mir ewig lang, ich habe nicht viel zum Vereinfachen gefunden. Bin aber auch kein Held bei den Rechenregeln fürs Vereinfachen.

Ansonsten habe ich wenig Ahnung von Funktionsscharen, es fliegt immer so nett das Wort "Fallunterscheidung" herum. Aber an welcher Stelle brauche ich die? Und wie macht man sowas überhaupt?

Ich weiß zwar, wie Kurvendiskussionen gehen, aber die Funktion selber ist echt knackig. Wenn sich jemand die Zeit nimmt, die Aufgabe anzuschauen, wäre ich echt dankbar. Sieht nämlich nach viel Rechnerei aus.

Danke für alle Lösungsvorschläge :)

Answer 1

f _n (x) =  x ^-n  *  ln (x²)     (für n ∈ N\{0}),

Es soll der Grenzwert für x → ∞  mithilfe von L'Hospital berechnet werden.

f _n (x) =    ln (x²)   /  x ⁿ  also Grenzwerttyp:   unendlich / unendlich

mit L'Hospital

(1 / x^2 ) * 2x      / ( n* x ^n-1  )

= (2/x)   /  ( n* x ^n-1  )   =   2 /  ( n*x^n )

also für n gegen unendlich Grenzwert = 0.

f _n (x) =  x ^-n  *  ln (x²)

f '_n (x) = -nx ^-n-1 * ln (x²) + x ^-n * (2/ x)= -nx ^-n-1 * ln (x²) + 2x ^-n-1  

versuch es mal damit.

Comments

Danke, habe nicht mehr gewusst, dass ich da die Kettenregel brauche. Die zweite Ableitung sieht trotzdem unheimlich aus, finde ich.

Darf ich bei der Ableitung von -n * x ^-n-1 einfach -n * -n rechnen oder muss ich da noch was beachten?

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Erst mal weiter vereinfachen:

f ' (x) = ( -n * ln (x²) + 2  ) *  x ^-n-1   dann

f ' ' (x)         = -n*2/x  *     x ^-n-1    +     ( -n * ln (x²) + 2  ) * ( -n-1) * x ^-n-2   

= -2n *  x ^-n-2    +     ( -n * ln (x²) + 2  ) * ( -n-1) * x ^-n-2   

= -2n *  x ^-n-2    +     ( n(n+1) * ln (x²) + 2 *( -n-1)  ) * x ^-n-2   

=  (  -2n - 2   +   n(n+1) * ln (x²)  ) * x ^-n-2      

Brauchst du überhaupt f ' '  ?

Nullstellen:     x ^-n  *  ln (x²)  = 0

x ^-n  = 0   oder   ln (x²)  = 0

keine Lösung    oder     x^2 = 1

also Nullstellen bei 1 und -1 siehe Georgs Graph.

Monotonie: Musst du schauen, wo die Abl. positiv bzw. negativ ist:

f ' (x) > 0   ⇔  ( -n * ln (x²) + 2  ) *  x ^-n-1     Für ungerades n ist  x ^-n-1  immer positiv,

also zu prüfen  ( -n * ln (x²) + 2  )= 0
                     2 = n*ln(x^2)
                    2/n   =  ln(x^2 )

x^2 = e^2/n
                    x = ± wurzel(2/n)  da ist es gleich 0

also negativ für x< - wurzel(2/n) dann positiv für 

- wurzel(2/n)  <  x <  wurzel(2/n)   (außer 0, da ist es nicht definiert)

und für x > wurzel(2/n)   wieder negativ.

damit ist bei ungeradem n der Graph

monoton fallend für x< - wurzel(2/n)

monoton steigend für  - wurzel(2/n) < x < 0

monoton steigend für  0 < x <  wurzel(2/n)

monoton fallend für x  > wurzel(2/n)  

Dann musst du noch den Fall:  n gerade untersuchen.

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Danke für den ausführlichen Rechenweg.

Ich bin mir nicht sicher, ob die zweite Ableitung zwingend nötig ist, eventuell für die Extrema.

Das mit dem "gerade" oder "ungerade" habe ich noch nicht ganz verstanden. Müsste ich nicht eine Fallunterscheidung für n > 0 und eine für n < 0 machen? x hat ja einen positiven Wert, egal ob n gerade oder ungerade ist.

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oben steht doch (für n ∈ N\{0}),also kein negatives n.

Die Fallunterscheidung ist hier

n gerade bzw. n ungerade,

da in diesem Fall die Monotonieeigenschaften

davon abhängen.

Answer 2

Hier schon einmal den Grenzwert

Es gilt nur der 2.Teil nach D = ℕ \ {0 }

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Mein Matheprogramm



das ist abschreckend und wird immer abschreckender.
  x ^-n  *  ln (x²)

Grafik für n = 1 und n = 2

~plot~  x^{-1} * ln ( x^2 ) ; ln ( x^2 ) / x^2 ~plot~