A ⊂ f-1(f(A))
1. Fall : A = ∅. Dann auch f(A) = ∅ und auch f-1(f(A)) = ∅ .
Also die Beh. erfüllt.
2. Fall A ≠ ∅. Dann gibt es ein x aus A, und wegen A⊂X
gibt es zu diesem x ein y aus Y mit f(x) = y.
Also y aus f(A).
Dann leigen in f-1(f(A)) alle z aus X mit f(z) = y.
Eines dieser z ist das anfangs erwähnte x, also
ist x aus f-1(f(A)) . q.e.d.
Das andere geht so ähnlich.
Dann gibt es