Berechnen Sie außerdem die Bilder g([-1,2)) und h([0, ∞)) sowie die Urbilder g^{-1}([2,6]), g^{-1}((-∞, 0]) und …

Question

Aufgabe \( 1.3(4 \mathrm{P}) \) Verkettung von Funktionen
Gegeben seien die Funktionen
(a) \( g:[-1,2) \rightarrow \mathbb{R}, g(x):=1+x^{2} \) und
(b) \( h:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, h(x):=x \sqrt{x} \).

Existieren beide Verknüpfungen \( h \circ g \) und \( g \circ h \) ? Falls ja, berechnen Sie diese. Berechnen Sie außerdem die Bilder \( g([-1,2)) \) und \( h([0, \infty)) \) sowie die Urbilder \( g^{-1}([2,6]), g^{-1}((-\infty, 0]) \) und \( h^{-1}((-1,1)) \).

Es wäre toll wenn mir hier jemand behilflich sein kann bei den Urbildern und Bild wo ein unendlichkeitszeichen steht bin leider am verzweifeln gerade

Comments

Niemand hier?

Answer 1

Damit \( h \circ g \) auf dem ganzen Def.bereich von g existiert,

musst g(x) immer im Def.bereich von h liegen.

Das ist hier so; denn für -1≤x<2 gilt 1≤g(x)<5.

Also \( g([-1,2)) = [1,5) \).

Also ist g(x) immer in [0,∞), das sind ja genau die reellen Zahlen ≥0.

Also kann man für alle x∈[-1,2) bilden

\( (h \circ g )(x)=  h(g(x)) = (1+x^2) \sqrt{1+x^2} \).

Umgekehrt bei \(  g \circ h   \) ist das Problem, dass etwa

für x=9 man hat h(9) = 27 ∉ [-1;2). Also würde diese Verkettung nur

klappen, wenn man den Def.bereich einschränkt. Das heißt dann

bei euch wohl   \(  g \circ h \) existiert nicht.

\( h([0, \infty)) = [0, \infty)  \) .

Für \( g^{-1}([2,6]) \) muss man überlegen:

Für welche x∈[-1,2)  gilt g(x) ∈ [2,6]

also 2 ≤g(x) ≤6

bzw.  2 ≤ 1+x^2  ≤6

<=>     1 ≤ x^2  ≤5

Auf ganz ℝ betrachtet wäre das ja

       -√5≤x≤-1   oder      1≤x≤√5

Wegen  x∈[-1,2) also \( g^{-1}([2,6]) = \{-1\} \cup [1,2) \).