a) Löse einfach die Gleichung x^2 - y^2 = c nach y auf .
Die erste Hyperbel (z.B. für c=5 ) sähe dann so aus :
~plot~ sqrt(x^2 -5);-sqrt(x^2 -5) ;x=5~plot~
Und wenn du aus z=x+iy dann z^2 machst, bekommst du
x^2 + 2ixy - y^2 = x^2 - y^2 + 2ixy
= c + 2ixy
Also haben alle Bilder den Realteil c und als
Imaginärteil alle reellen Zahlen; denn 2xy durchläuft
für x.y ∈ℝ alle reellen Zahlen.
Das Bild insgesamt ist also eine Gerade und zwar
parallel zur y-Achse durch c auf der x-Achse. in meinem
Bildchen also die grüne Gerade zu x=5 .
Bei der 2. Hyp. hast du ja y= d/(2x) also wird nach
dem Quadrieren von z das x^2 - y^2 + 2ixy
wegen 2xy=d zu x^2 - y^2 + id
also alles Zahlen mit Imaginärteil d und
Realteil x^2 - y^2 , was auch wieder alle reellen
Zahlen durchläuft, also die Gerade parallel
zur y-Achse durch d auf der x-Achse. Ich zeichne
wieder mit d=5 und erhalte die rote Gerade
~plot~ 5/(2x);x=5 ~plot~
Bei der ersten Geraden wird z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy
zu c^2 - y^2 + 2cy*i. Es gibt also komplexe
Zahlen des Typs z =t+u*i und
t=c^2 - y^2 und u = 2cy
==> y= ±√(c^2 - t ) und u = ±2c*√(c^2 - t )
Bzw. wenn du das wieder in ein x-y Koordinatensystem
einzeichnen willst hast du als Bild der Geraden die Kurve zu
y = ±2c*√(c^2 - x ). Wenn ich wieder c=5 nehme, ist es
~plot~ x=5;10*sqrt(25-x);-10*sqrt(25-x);[[-70|70|-100|100]] ~plot~
