Matrix bestimmen von Lösungsmenge ausgehend

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

3 voA4.8 (12 Punkte \( =6+6) \) Geben Sie jeweils ein LGS in der Form \( A x=b \) an, das folgende Lösungemenge hat:
a) \( L_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}12 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{l}-9 \\ -3 \\ -2\end{array}\right) \mid r, s \in \mathbb{R}\right\} \),
b) \( L_{2}=\left\{\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right) \mid r \in \mathbb{R}\right\} \)

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen!

Bezüglich dieser Matrix ist mir leider unklar wie ich diese denn zu bestimmen hätte. Meine Überlegungen waren, die Form A x=b gibt vor das x Element von der Lösungemenge. Nun brauchen wir eine Matrixform welche diese Gleichung erfüllt. Theoretisch könnte dies ja eine 3x3 Einheitsmatrix erfüllen, allerdings gibt es ganze 6 Punkte für diese Aufgabe und ich bezweifle das es so einfach sein könnte. Hat jemand möglicherweise Tipps oder Ideen wie man da richtig rangeht ? Könnte die Einheitsmatrix doch die Lösung sein ?

Ich freu mich auf jede Hilfe!

Answer 1

Ich erkläre mal b). a) ist analog und einfacher.

Das homogene System Ax=0 muss die folgende Lösung haben:
\( \left\{r\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right) \mid r \in \mathbb{R}\right\} \)

Da dieser Lösungsraum 1-dimensional ist, muss die Matrix A den Rang 2 haben. Du brauchst also zwei unabhängige Zeilenvektoren für A, die senkrecht auf \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)\) stehen.

Zum Beispiel

\(\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}4 \\0 \\ -1\end{array}\right)\)

Ab in die Matrix

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0  \\ 4  & 0 & -1\end{pmatrix}$$

Jetzt musst du nur noch die rechte Seite b ausrechnen:

$$b =  \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0  \\ 4  & 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 10\end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Darf ich fragen wie wir auf Ax=0 gekommen sind ? Ich meine wir kennen b ja nicht, können damit nicht sagen ob es 0 ist (so verstehe ich es, offensichtlich ist es falsch). Eine andere Frage wäre das mit dem Matrixrang, wie können wir rückschließend über die Dimension der Lösung auf den Rang der Matrix schließen? Wie erkenne ich da den Zusammenhang?

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Zur Erinnerung:

Die Lösung eines LGS hat immer die Struktur:

partikuläre Lösung + allgemeine Lösung des homogenen Systems

Genau so sind die beiden Lösungen in der Aufgabe auch angegeben.

Zur Dimension:
Die Matrix A operiert auf dem \(\mathbb R^3\) - also Dimension 3.

Nun wendet man die Dimensionsformel für Matrizen an:
3 = Rang A + Dim(Kern A)

Hierbei ist Kern A gerade die allgemeine Lösung von Ax=0.

Übrigen kann man Zeilen mit Nullen weglassen, da die Dimension des Bildraumes in der Aufgabenstellung nicht vorgegeben ist.

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Hi trancelocation,

was ich daran nicht verstehe ist, dass die 3. Komponente im Lösungsvektor 1+4r ist. Im zugehörigen LGS würde das ja bedeuten, dass man eine Lösung x3=1+4r hat. D.h. eigentlich müsste es einen weitere freie Variable x4 = r geben? Außerdem verstehe ich auch nicht, warum die Zeilenvektoren orthogonal sein müssen? Reicht es nicht aus, wenn sie linear unabhängig sind?

Grüße und danke für deine Zeit

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@gauss271
Was heißt denn Ax=0 (0 steht hier für Nullvektor)? Die Zeilen von A müssen orthogonal zu x sein.

Wie man LGS löst, erkläre ich hier nicht. Rechne einfach mal nach und beachte, dass sich ein skalares Vielfaches von \(\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right)\) als Spannvektor der homogenen Lösung ergeben kann. Außerdem kann eine andere partikuläre Lösung herauskommen, die sich von der gegebenen additiv durch ein Element der homogenen Lösung unterscheidet.

Was du herausbekommst, hängt davon ab, wie du rechnest.