Mengen, Teilmengen und Funktionen

Question

Sei f: X -> Y eine Abbildung. Zeigen Sie:

i) Für alle Teilmengen A ⊂ X und B ⊂ Y gilt A ⊂ f^-1(f(A)) und f(f^-1(B)) ⊂ B

ii) Gegeben sie die Funktion f : ℝ → ℝ² mit f(x) = (cos(x), sin(x)). Bestimmen Sie die Menge M = f([0,π)), sowie deren Urbildmenge f^-1(M).

Answer 1

A ⊂ f^-1(f(A)) 

1. Fall :   A = ∅.  Dann auch f(A) =  ∅ und auch  f^-1(f(A))  = ∅ .

Also die Beh. erfüllt.

2. Fall  A ≠ ∅.  Dann gibt es ein  x aus A, und wegen A⊂X

gibt es zu diesem x  ein y aus Y mit f(x) = y.

Also y aus f(A).

Dann leigen in   f^-1(f(A))  alle z aus X mit f(z) = y.

Eines dieser z ist das anfangs erwähnte x, also

ist x aus   f^-1(f(A)) .   q.e.d.

Das andere geht so ähnlich.

Dann gibt es