Es gelte f(I) ⊆ I. Zeigen Sie, dass es ein x ∈ I gibt mit f(x) = x.

Question

Ich bin etwas verwirrt und verstehe nicht ganz was ich tun soll in der Aufgabe.

Wenn I gegen ℝ geht ist doch f(0) =0 und f(1)=1 und mehr geht nicht. Oder habe ich da einen Denkfehler?

Und was soll ich mit dem Hinweis machen? Wozu brauch ich den?

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Hallo kann Jemand mir mit dieser Aufgabe helfen?

Es sei I = [0,1] und sei es sei f : I → ℝ stetig.

Es gelte I ⊆ f(I). Zeigen Sie, dass es ein x ∈ I gibt mit f(x)= x.

Answer 1

Nimm den Hinweis. g(0) = f(0) - 0 = f(0) und wegen f(I) ⊂ [0;1] ist also f(0) aus [0;1] .

g(1) = f(1) - 1 und wegen f(1) aus [0;1] ist also  f(1) -1 aus [-1 ; 0 ]

Mit f ist auch g stetig, und hat also einen Wert in [-1 ; 0 ] und einen in [0;1]

wenn einer davon 0 ist, dann ist an der Stelle f(x) - x gleich 0 und das heißt f(x)=x.

sind beide Werte nicht Null, ist der eine neg. und der andere pos. und wegen

der Stetigkeit gibt es dazwischen einen, der gleich 0 ist, also dort f(x)=x.

Comments

Okay vielen Dank :-) und wie muss ich das bei der b) machen? Verstehe nicht ganz wo da der Unterschied ist zu der a)

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Da f stetig ist, ist jedenfalls f(I) auch ein kompaktes Intervall

und g(I) auch.  Vielleicht kann man da was draus machen.

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Sorry bei dem Thema steh echt auf dem Schlauch... Also ich würde sagen der Intervall von f(I) besteht aus

[ f(0) ; f(1) ] und der Intervall von g(I) aus [ g(0) ; g(1) ] oder um genauer bei g zu sein [ f(0) ; f(1)-1 ]. Doch wie hilft mir das weiter?

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Nein, stetig heißt ja nicht monoton.

Denke mal an sin. Da wird das Intervall [0;2pi] abgebildet auf [-1;1] aber

sin(0) und sin(2pi) beide gleich 0.

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Ja ok. Vielen Dank nochmal für die a) und die Denkanstöße bei der b), aber ich hab echt keine Ahnung. Werde dann einfach auf die Musterlösung warten