Rotationskörperaufgabe Sektglas Lösungsüberprüfung

Question

ich mache demnächst ein Referat über Rotationskörper.

Dazu habe ich eine Aufgabe selbst erstellt und um sicher zu gehen, dass ich sie auch richtig ausgerechnet habe, wollte ich euch fragen, ob die Lösungen stimmen.

Meine Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion eines Sektglases mit der Funktion f mit f(x)=5/2x^2, die um die y-Achse rotiert.

a) Das Glas wird bis zu einer Höhe von 8cm gefüllt. Wie viel cm^3 Flüssigkeit befindet sich in dem Glas?

b) Um wie viel % ist das Glas in Teilaufgabe a) gefüllt, wenn das Glas eine Gesamthöhe von 12cm hat?

Meine Lösungen:

a) 128/25 pi = ca. 16,08 cm^3

b) Zwischenlösung: Wenn das Glas komplett gefüllt ist, hat es ein Volumen von 288/25 pi = ca. 36,19 cm^3. Und somit wäre das Glas in Aufgabe a) bis zu 44,4% gefüllt.

Es wäre wirklich sehr nett, wenn mir das jemand nachrechnen würde und meine Lösungen entweder bestätigt oder mit mir zusammen meine Fehler finden würde.

 

Liebe Grüße

Comments

Vgl. eventuell auch:

https://www.mathelounge.de/29484/stelle-eine-funktion-auf

Answer 1

  ich habe etwas anderes heraus. Hier mein Rechenweg.

  Ich berechne zunächst die Umkehrfunktion und lasse den Körper um die x-Achse rotieren

  Funktion y = 5/2 * x^2
  Umkehrfunktion x =5/2 * y^2
  y = √ ( 2*x / 5 ) = f(x)

  Kreisfläche an der Stelle(x)

  A(x) = [ f(x) ]^2 * π
  A(x) = [√ (2*x / 5) ]^2 * π
  A(x) =  2* x / 5 * π

  Stammfunktion bilden
  ∫ A(x) * dx = ∫ 2 * x / 5 * π* dx =  x^2 / 5 * π

  V(8) = Stammfunktion zwischen 0..8
  V(8) = 64/5 * π = 40.21 cm^3

  V(12) = Stammfunktion zwischen 0..12
  V(12) = 144/5 * π = 90.48 cm^3

  V(8) / V(12) = 40.21 / 90.48 = 44.44 %

  mfg Georg

  Bei Fehlern oder Fragen bitte melden.

Comments

ich habe meinen Fehler gefunden! Danke für beide Antworten (ich würde das hier eigentlich allgemein schreiben, allerdings finde ich hier nur die Funktion, wie man einen Beitrag einzeln kommentieren kann).

Der Fehler lag bei mir wohl schon bei der Umkehrfunktion. Da hatte ich y = 2/5 Wurzel aus y. Ist das dann etwas anderes als y = Wurzel aus 2x/5? Denn mit der Umkehrfunktion, die ihr habt, bin ich auf das richtige Ergebnis gekommen.

Ich hätte dann noch eine andere Frage. Für das Referat möchte eine Übersicht zusammenstellen, die beinhaltet, was es beim Berechnen von Rotationskörper zu beachten gibt. Und da ist mir etwas beim Rechnen einer Aufgabe aufgefallen: Eigentlich muss man ja, wenn man die Fläche zwischen 2 Funktionen berechnet, immer die kleinere Funktion von der größeren Funktionen abziehen. Genauso, wenn ein Körper um die x-Achse rotiert. Da hatte ich aber eine Aufgabe, bei der der Körper um die y-Achse rotiert und um da auf das richtige Ergebnis zu kommen, musste ich jedoch das Volumen der größeren Funktion vom Volumen der kleineren Funktion abziehen. Andersherum habe ich einen negativen Wert erhalten.

Meine Frage hierzu ist nun, ob das generell so ist, dass man das bei der Rotation um die Y-Achse genau anders herum machen muss (also Volumen der größeren vom Volumen der kleineren Funktion abziehen) und ob ich das in die Übersicht aufnehmen kann oder ob das von den Funktionen abhängig ist, die gegeben sind.

Liebe Grüße

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  Bildung der Umkehrfunktion :

  1.Schritt alle x und y tauschen

     Funktion y = 5/2 * x²

     Umkehrfunktion x =5/2 * y²

  dann nach y umstellen

     x * 2 = 5 * y^2

     x * 2 / 5 = y^2

     y^2 = x * 2 / 5

     y = √ ( 2*x / 5 ) = f(x)

  Wie du auf deine Umkehrfunktion gekommen bist weiß ich nicht ( Umstellungsfehler ).

  Falls du einen Rotationskörper mit Hohlraum hast gehst du wie folgt vor.

  Du berechnest das Volumen für beide Rotationsköper separat. Beide Berechnungen liefern dir einen positiven Wert. Dann zieht du den kleineren Wert vom größeren Wert ab.

  Mit dieser Vorgehensweise bist auf der sicheren Seite. Bei anderer Vorgehensweise können sich recht schnell logische Fehler einschleichen.

  mfg Georg

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Danke für deine ausführliche Ausführung. Ja, das muss wohl ein Umstellungsfehler gewesen sein.

Stimmt, so klappt es immer. Auch wenn das eigentlich klar auf der Hand liegt, wäre ich jetzt nicht darauf gekommen. Vielen Dank also für den Tipp.

Answer 2

y = 5/2x²

Umkehrfunktion

y = √(0.4x)

 

a) ∫ 0 bis 8 (pi * 0.4x) = 64/5*pi = 40.21

b) ∫ 0 bis 12 (pi * 0.4x) = 144/5*pi = 90.48

p% = 40.21/90.48 = 0.4444 = 44.44%

Ich habe andere Ergebnisse heraus. Schau mal deine Rechnung an ob die so ähnlich aussieht.