Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung (Bild), bei der ich um Hilfe suche .Für eine CF muss das Cauchy Kriterium erfüllt sein , welches besagt dass:eine Folge in R oder C konvergiert gegen einen Grenzwert in den reellen bzw. komplexen Zahlen, wenn es zu jedem Epsilon >0 einen Index N gibt, sodass der Abstand zweier beliebiger Folgenglieder ab diesem Index kleiner als Epsilon ist. Der Abstand von xn+1 zu xn ist dabei ja kleiner als der von xn zu xn-1 . da mit steigenden Index die Abstände der benachbarten Folgenglieder ja kleiner werden , man kompensiert hier ein <= mit einem gewissen faktor q aus [0,1) was heißt das| xn-xn-1 | echt größer sein muss als |xn+1-xn|.Wie zeigt man das jedoch?
Hallo arni,
mit den folgenden zwei Schritten solltest du zum Ziel kommen.
Sei D : =∣x1−x0∣D := |x_1-x_0| D : =∣x1−x0∣. Zeige:
1) ∣xn+1−xn∣≤qnD |x_{n+1}-x_n| \leq q^n D ∣xn+1−xn∣≤qnD für alle n≥1n \geq 1n≥1.
2)∣xm−xN∣≤qND∑k=0m−(N+1)qk|x_m - x_N| \leq q^ND \sum\limits_{k=0}^{m-(N+1)} q^k ∣xm−xN∣≤qNDk=0∑m−(N+1)qk für m≥N≥1m \geq N \geq 1 m≥N≥1.
Gruß
Hallo und Vielen Dank das werde ich gleich probieren !
Den punkt i) Hab ich mit Induktion gemacht.
zu ii) fällt mir ein das die gennante Summe die Form einer geometrischen Reihe hat.Falls q<1 ist (was hier der Fall ist) ist der Limes hiervon 1/(1-q) .Oder anders ausgedrückt , wir haben in der Vo eine Formel dafür gefunden die lautet sn= [1-qn+1]/(1-q) in diesem Fall wäre das sn= [1-qm-N+2]/(1-q)
aber verstehe nicht ganz wie man ii) zeigt.
Genau mit der geometrischen Reihe kannst du eine weitere Abschätzung nach oben durchziehen und befindest dich quasi auf der Zielgeraden.
Um ii) zu zeigen verwende i) und die Dreiecksungleichung.
Puh diese Abschätzungen sind nicht leicht bzw. rauben mir ein wenig meine Nerven.
Wie geht man hier vor?, Ichs verstehs leider nicht .:(
Dazu müsstest du ein wenig spezieller werden wo genau wir beide grade sind ^^.
∣xm−xN∣≤∣xm−xm−1∣+∣xm−1−xm−2∣+⋯+∣xN+1−xN∣|x_m-x_N| \leq |x_m-x_{m-1}| + |x_{m-1}-x_{m-2}| + \dots + |x_{N+1}-x_N| ∣xm−xN∣≤∣xm−xm−1∣+∣xm−1−xm−2∣+⋯+∣xN+1−xN∣.
Edit: Tippfehler.
Ok ich Probier mal weiter :)
Warum steht gank links xn und nicht xN?
bzw. wäre auf der rechten seite dann nicht ganz zum schluss xn+1 - xn?
worauf man i) anwenden könnte?
Du kannst überall i) anwenden (sollst du sogar), aber das mit dem kleinen nnn war ein Tippfehler meinerseits, den ich jetzt behebe :).
oh ok :) dann ist die rechte seite doch ≤ (wegen i) ) qm-(N+1)*|xN+1-xN|≤qm-(N+1)+N*D
hmm jz müsste ich irgendwie die Geometrische Reihe Einbauen.
Nein, das wäre ja nur einer der Summanden, Du musst für alle Summanden i) benutze, daher kommt auch die Summe in meiner Antwort bei 2) zustande.
Asoo dann brauche ich für jeden einzelnen Summanden ein bestimmtes qk was mit der Summe ausgedrückt wurde .Die die Anzahl der Summanden beschreibt was erechent wurde als Differenz des höchsten Summanden - kleinster Summand. Und darauf noch i ) angwendet ergibt die Aussage dann?
Im Grunde ja :).
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