Monotonieverhalten /Folge mit a_(n) = 7 * (3/4)^n

Question

Ich muss folgendes Bsp berechnen, jedoch weiß ich nicht wie ich da ansetzen soll..bitte um lösungsweg damit ich die restlichen bsp auch verstehe, vielen dank ! 1.2.6 a wäre das

Answer 1

Ist geometrisch und monoton fallend.

summe mit Formel a * ( q^n - 1) / ( q-1) =

bis 20      7 * ((3/4)^21 - 1) / ( 3/4 - 1 ) 

bis unendlich    7 *   1 /  ( 1 - 3/4)  =  28

Comments

warum genau bis 20 ?

verstehe ich nicht ganz sorry

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und woher sehe ich das, dass diese fallend ist ?

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warum kann sie nicht monoton steigend sein?

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Bitte um Anwort , das ist mir nicht sehr einleuchtend

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rehne doch mal z.B. die ersten 5 Folgenglieder aus

ao = 7

a₁ = 7 * (3/4)

a₂ = 7 * (3/4)^2    etc.

Die werden immer kleiner, das heißt monoton fallend

Die Zahl oben am Summenzeichen sagt wie weit die Summe geht.

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Diese Methode zur Bestimmung der Monotonie ist höchst fragwürdig.

Answer 2

Formal lässt sich Monotonie wie folgt zeigen. Offenbar ist \(a_n>0\) für alle \(n\) und $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{7\cdot\left(\frac34\right)^{n+1}}{7\cdot\left(\frac34\right)^n}=\frac34\Rightarrow a_{n+1}=\frac34a_n\Rightarrow a_{n+1}< a_n.$$

Comments

Also ist das eine geometrische folge monoton fallend ..aber wie kann ich mit dieser formel zeigen dass diese fallend ist ?

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Verstehe nicht wie man bei an+1= 3/4an sehen kann dass diese fallen ist ..

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Das liegt daran. dass \(0<\frac34<1\) ist.