Flächeninhalt soll maximal sein.

Question

Ich habe eine Funktion f(x)=√(2x+2)-x und diese soll mit den Koordinatenachsen ein Rechteck bilden das einen Maximalen Flächeninhalt hat. Jedoch nur im 1. Quadranten. Die Seiten sollen parallel sein und ein Punkt soll auf der Funktion liegen und der andere soll der Koordinatenursprung sein. Danke schon einmal im Voraus.

Answer 1

ich gehe davon aus, dass du ein Rechteck meinst, dessen Seiten auf den positiven Koordinatenachsen liegen bzw. zu diesen parallel sind und dessen rechter oberer Eckpunkt P auf dem Graph von f liegt.

P habe die Koordinaten  (x | f(x) ).

Dann sind die Seitenlängen des Rechtecks  x  und  √(2x+2) - x.

Der Flächeninhalt  beträgt dann   A(x)  =  x • f(x)  =  x • ( √(2x+2) - x )

Da A(x) maximal sein soll, muss A'(x) = 0 sein und an der betreffenden Stelle x einen Vorzeichenwechsel  von + nach -  haben:

A'(x)  = - √2·(2·√2·x·√(x + 1) - 3·x - 2) / (2·√(x + 1))  = 0

hat eine solche  Lösung:  x ≈ 1,422   ( unten dem Graph entnommen )

Ich meine, dass man diese Lösung nur mit einem numerischen Näherungsverfahren (z.B. Newtonverfahren:  https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren)  genauer bestimmen kann.

Gruß Wolfgang