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Bestimmung des Integrals der Kardinalfunktion \(f_{k}(x)\)
Die gegebene Funktion lautet:
\( f_{k}(x) = \frac{1}{k x} \cdot \sin(k x) \)
Um das Integral im gegebenen Bereich zu berechnen, müssen wir die Grenzen basierend auf den Nullstellen von \(f_{k}(x)\) definieren.
Für \(k=1\):
Die Nullstellen sind bei \(n \pi\) und \(-n \pi\), wobei \(n\) eine natürliche Zahl ist. Da die Funktion \(f_{k}(x)\) achsensymmetrisch ist, können wir uns auf den positiven Bereich beschränken und anschließend das Ergebnis verdoppeln, um den vollen Wert des Integrals über die erste komplette Schwingungsperiode zu erhalten. So reduziert sich die Berechnung auf das Integral zwischen \(0\) und \(\pi\).
Das Integral kann nicht in elementarer Form ausgedrückt werden, aber wir wissen, dass es mit dem Integralsinus (Si) in Beziehung steht. Das Integral von \(0\) bis \(\pi\) muss separat berechnet oder nachgeschlagen werden:
\( I_{1} = 2 \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{x} dx \)
Dieses Integral entspricht \(2 \cdot \mathrm{Si}(\pi)\). Der Integralsinus von \(\pi\) wird, wenn nicht genau angegeben, üblicherweise als:
\( \mathrm{Si}(\pi) \approx 1.852 \)
So ist:
\( I_{1} \approx 2 \times 1.852 = 3.704 \)
Für \(k=4\):
Die Nullstellen sind hier \( \frac{n \pi}{4} \) und \( \frac{-n \pi}{4} \), was bedeutet, dass die Integration über eine volle Schwingungsperiode von \( \frac{-\pi}{4} \) bis \( \frac{\pi}{4} \) erfolgen sollte. Wiederum können wir die Symmetrie nutzen, um nur den positiven Bereich zu betrachten und das Ergebnis zu verdoppeln:
\( I_{4} = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin(4x)}{4x} dx \)
Ähnlich wie zuvor kann dieses Integral nicht in geschlossener Form ausgedrückt werden, aber durch Betrachtung der Analogie mit dem Integralsinus:
\( I_{4} = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \mathrm{Si}\left(\frac{\pi}{4} \cdot 4\right) = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{Si}(\pi) \)
Mit dem bereits bekannten Wert für \(\mathrm{Si}(\pi)\):
\( I_{4} \approx \frac{1}{2} \times 1.852 = 0.926 \)
Zusammenfassung:
Das Integral der Funktion \(f_{k}(x)\) für \(k=1\) über die ersten signifikanten Nullstellen beträgt \(3.704\) auf drei Nachkommastellen genau.
Das Integral für \(k=4\) beträgt \(0.926\) auf drei Nachkommastellen genau.
Diese Berechnungen hängen stark von der Genauigkeit des Wertes für den Integralsinus von \(\pi\) ab und sollten für präzise Analysen mit einer genauen Tabelle oder numerischer Integration verifiziert werden.
