Ableitungsfunktion Funktionenschar

Question

Ich schreibe morgen Mathe-Klausur, bitte helft mir:

Bestimme des Wert des Parameters a , für den die Forderung erfüllt ist.
a) Der Graph zu f(x)= x^2+a berührt den Graphen zu g(x)=1/2 x mit gleicher Steigung
b) Der Graph zu f(x)= ax^2+1 berührt den Graphen zu g(x)=1/2 x mit gleicher Steigung
c) Der Graph zu f(x)= x^2+a schneidet den Graphen zu g(x)=1/x senkrecht

Bitte heflt mir!! Ich habe keinen Ansatz!

Answer 1

a) Der Graph zu f(x)= x²+a berührt den Graphen zu g(x)=1/2 x mit gleicher Steigung .

Steigung von g ist m=1/2

f ' ( x) = 2x = 1/2  

==> x = 1/4 ist die Berührstelle.

g(1/4) = 1/2 * (1/4) = 1/8 |  y-Koordinate des Berührpunktes

f(1/4) = 1/16 + a = 1/8            

==> a = 1/16 

Illustration:

~plot~x^2 + 1/16 ; 0.5x; {0.25| 0.125}~plot~

b) Der Graph zu f(x)= ax²+1 berührt den Graphen zu g(x)=1/2 x mit gleicher Steigung 

Her kannst du wie bei a) vorgehen.
c) Der Graph zu f(x)= x²+a schneidet den Graphen zu g(x)=1/x = x^{-1} senkrecht .

Für die beiden Steigungen gilt im Schnittpunkt: 

f ' (x) = - 1/ g ' (x) 

Probier das auch mal selber. 

Zur Kontrolle: 

f '(x) = 2x,     g '(x) = - 1/x^2

Gleichung

2x = -1 / (- 1/x^2))

2x = x^2

0 = x^2 - 2x  = x ( x -2) 

x1 = 0 nicht brauchbar, da g(x) nicht definiert für x = 0.

x2 = 2.

f ' (2) = 4, g ' (2) = - 1/ 4 und 4*(-1/4) = -1 geht.

Nun g(2) = 1/x = 1/2

f (2) = (2)^2 + a = 1/2 

==> 4 - 3.5 = 1/2 ==> a = 3.5.

Illustration:

~plot~x^2 - 3.5 ; 1/x; x=2; 4x-7.5; -0.25x+1~plot~ 

Comments

Bei b) komme ich noch nicht weiter!
f'(x)= 2ax=1/2
ax=1/4
x=1/(4a)

Wenn ich das in g(x) einsetze:
g(1/(4a))=1/2*1/(4a)=1/(8a)
aber wie kann ich damit weitermachen, in weiteren Schritten kürzt sich bei mir immer a raus... :/

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b) Ableitungen gleich

2ax = 1/2

a = 1/(4x)           (I)

Funktionswerte gleich

ax^2 + 1 = 0.5x       (I) einsetzen

x^2/(4x) + 1 = 0.5x

x/4 + 1 = x/2

x + 4 = 2x

4 = x

a = 1/ 16

f(x) = 1/16 x^2 + 1

Illustration:

~plot~ 1/16 x^2 + 1; 0.5x;x=4;2~plot~ 

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Bitte gern geschehen! Und viel Glück dann bei der Prüfung.