a) Der Graph zu f(x)= x2+a berührt den Graphen zu g(x)=1/2 x mit gleicher Steigung .
Steigung von g ist m=1/2
f ' ( x) = 2x = 1/2
==> x = 1/4 ist die Berührstelle.
g(1/4) = 1/2 * (1/4) = 1/8 | y-Koordinate des Berührpunktes
f(1/4) = 1/16 + a = 1/8
==> a = 1/16
Illustration:
~plot~x^2 + 1/16 ; 0.5x; {0.25| 0.125}~plot~
b) Der Graph zu f(x)= ax2+1 berührt den Graphen zu g(x)=1/2 x mit gleicher Steigung
Her kannst du wie bei a) vorgehen.
c) Der Graph zu f(x)= x2+a schneidet den Graphen zu g(x)=1/x = x^{-1} senkrecht .
Für die beiden Steigungen gilt im Schnittpunkt:
f ' (x) = - 1/ g ' (x)
Probier das auch mal selber.
Zur Kontrolle:
f '(x) = 2x, g '(x) = - 1/x^2
Gleichung
2x = -1 / (- 1/x^2))
2x = x^2
0 = x^2 - 2x = x ( x -2)
x1 = 0 nicht brauchbar, da g(x) nicht definiert für x = 0.
x2 = 2.
f ' (2) = 4, g ' (2) = - 1/ 4 und 4*(-1/4) = -1 geht.
Nun g(2) = 1/x = 1/2
f (2) = (2)^2 + a = 1/2
==> 4 - 3.5 = 1/2 ==> a = 3.5.
Illustration:
~plot~x^2 - 3.5 ; 1/x; x=2; 4x-7.5; -0.25x+1~plot~
