Ebene E schneidet die y-Achse bei 8,… Zwei Kugeln mit Radius 4. Welche enthält Ursprung?

Question

Aufgabe:

Die Ebene E schneidet die \( \mathrm{y} \) -Achse bei 8 , die \( \mathrm{x} \) - und die z-Achse je bei \( 4 . \)

Die Gerade \( g \) ist durch die Punkte \( P(0 / 0 / 1) \) und \( Q(1 / 2 / 2) \) bestimmt.

a) Bestimmen Sie die Gleichungen von \( \mathrm{E} \) und \( \mathrm{g} \).

b) Es gibt genau zwei Kugeln \( K_{1} \) und \( K_{2} \) mit dem Radius 4, welche die Ebene \( E \) berührt und deren Mittelpunkte auf der Geraden g liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden Kugelmittelpunkte.

c) Welche der beiden Kugeln enthält den Ursprung in ihrem Inneren?

d) In welchem Punkt berührt die Kugel, die den Ursprung enthält, die Ebene E?

Answer 1

a) Spurpunkte (4, 0, 0), (0, 8, 0), (0, 0, 4)

E: (4, 0, 0) + r * (-4, 8, 0) + s * (-4, 0, 4)

[-4, 8, 0] ⨯ [-4, 0, 4] = 16 * [2, 1, 2]

E: 2x + y + 2z = 8

P(0, 0, 1), Q(1, 2, 2)

g: (0, 0, 1) + r * (1, 2, 1) = [r, 2·r, r + 1]

b) Kugelmittelpunkte

|2(r) + (2r) + 2(r+1) - 8| / √(2^2 + 1^2 + 2^2) = 4

r = -1 und r = 3

M1 = [-1, 2·(-1), -1 + 1] = [-1, -2, 0]

M2 = [3, 2·3, 3 + 1] = [3, 6, 4]

c) Welche Kugel ist wohl dichter am Ursprung dran ?

d) Gerade durch M1 mit Normalenvektor von E

[-1, -2, 0] + r * [2, 1, 2] = [2·r - 1, r - 2, 2·r]

Jetzt Schnittpunkt mit der Ebene bilden.

2(2·r - 1) + (r - 2) + 2(2·r) = 8

r = 4/3

[2·(4/3) - 1, (4/3) - 2, 2·(4/3)] = [5/3, - 2/3, 8/3]

Comments

|2(r) + (2r) + 2(r+1) - 8| / √(22 + 12 + 22) = 4

wenn ich diese Gleichung auflöse bekomme ich 6r=18 und somit r= 3 doch wie komme ich auf die zweite Lösung r= -1

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Hast du an die Betragsstriche in der Gleichung gedacht ?

|a| kann in Gleichungen über Fallunterscheidungen durch +a und durch -a ersetzt werden.

Answer 2

a) Bestimmen Sie die Gleichungen von E und g

Achsenabschnittsform:

E: x/u +y/v +z/w = 1; u=4, v=8, w=4;

    x/4 +y/8 +z/4 = 1;

    2x +y +2z = 8;

Zwei-Punkte-Form:

g: x = p +(q-p)*t;

    x = (0; 0; 1) +(1; 2; 1)*t;

 

b) Es gibt genau zwei Kugeln K mit dem Radius r = 4, die die Ebene E berühren und deren Mittelpunkte auf der Geraden g liegen. Bestimmen sie die Koordinaten der Kugelmittelpunkte.

Abstand s, Punkt-Ebene:

s= |a*p1 +b*p2 +c*p3 -d|/sqrt(a^2 +b^2 +c^2);

a, b, c sind die Parameter der Ebenengleichung: ax +by +cz = d

--> mit E aus a): a=2, b=1, c=2, d=8

p1, p2, p3 sind die Koordinaten eines Punktes. Dieser muss auf g liegen, daher gilt:

p1=t, p2=2t, p3=1+t

In Abstandsgleichung eingesetzt:

s = |2t +2t +2 +2t -8| / sqrt(2^2 +1^2 +2^2) = 1/3 *|6t-6| = 2*|t-1|;

Der Abstand beträgt s=4:

s = 4 = 2*|t-1|;

|t-1| = 2; //Betrag auflösen --> zwei Möglichkeiten

t-1 = ±2;

t₁=3, t₂=-1

In Geradengleichung eingesetzt:

g: x = (0; 0; 1) +(1; 2; 1)*t₁ --> x₁=3, x₂=6, x₃=4 --> M₁(3; 6; 4)

    x = (0; 0; 1) +(1; 2; 1)*t₂ -->  x₁=-1, x₂=-2, x₃=0 --> M₂(-1; -2; 0)

 

c) Welche der beiden Kugeln enthält den Ursprung in ihrem Innern

Abstand des Kugelmittelpunktes vom Ursprung:

|m1| = sqrt(3^2 +6^2 +4^2) = 7,8;

|m2| = sqrt(1^2 +2^2 +0^2) = 2,2;

Da bei m2 der Abstand des Kugelmittelpunktes vom Ursprung kleiner  ist als der Radius der Kugel, muss der Ursprung im Kugelinnern liegen.

 

d) In welchem Punkt berührt die Kugel, die den Ursprung enthält, die Ebene.

Lotfußpunkt von Punkt M2 auf Ebene E. Geradengleichung mit Normalenvektor der Ebene E als Richtungsvektor aufstellen, M2 als Aufpunkt: M₂(-1; -2; 0)

x = n*t +m2; n=(2; 1; 2);

x in Ebenengleichung einsetzen:

2*(2*t-1) +(t -2) +2*(2t) = 8;

4t -2 +t -2 +4t = 8;

9t = 12;

t = 12/9 = 4/3;

in Geradengleichung:

x = 4/3*(2; 1; 2) +(-1; -2; 0) = (5/3; -2/3; 8/3)

 

lg JR