Integration durch Substitution: Bsp. ∫ 1/√(1-x^2) dx .

Question

Hallo :)                  ∫

Ich habe zwei Fragen zu Aufgaben zur Integration durch Substitution:

Die erste ist:

dabei substituiere ich:

u=x²

du=2x dx

Die Lösung habe ich mir von Wolfram Alpha anzeigen lassen:

 

damit komme ich auf

Aber wo zur Hölle ist mein x hin verschwunden?

Die zweite Frage ist bei:

Man erkennt direkt das es sich dabei um die Integraldarstellung von arcsin handelt. Aber wie zeige ich das durch Substitution? Soll ich hier mit:

u=wurzel(1-x²)

oder

u=1-x² substituieren?

Answer 1

u=x²

du=2x dx  | : 2

1/2 du = x dx

ersetze nun x*dx

durch 1/2 du.

Dann ist das x automatisch weg.

Zu deiner 2. Aufgabe:

Versuche mal

x = sin(u).

dx / du = cos(u)

Dann hast du

im Integranden

1/√(1 -sin^{u}) = 1/ |cos(u)|

und statt dx schreibst du " cos(u) du     "

Dann kürzt sich cos(u) weg. [ ohne jetzt den Betrag zu berücksichtigen ] - Kannst du immer noch mit Hilfe einer Fallunterscheidung.

Nachtrag:

∫ du  = ∫ 1* du  = u + C

nun noch Rücksubstitution. 

Comments

Ach verdammt, so simpel also, vielen Dank.

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Bitte.

Ich war übrigens gerade noch an einem Tipp für deine 2. Aufgabe. Vgl. inzwischen oben.

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Noch einmal Danke dafür!

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Wie sieht denn das aus? ;)

Aber wie zeigt das jetzt das das der arcsin ist??

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Wie lautet die komplette Aufgabe? Hier steht ja u und x in einer Aufgabe?

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Ich soll per Substitution integrieren, bei:

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int du = u+C

Jetzt erfolgt die Resubstitution von x= sin(u) , das ist u= arcsin(x)

Lösung:arcsin(x)+C

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Okay, das ist eine klare und verständliche Aussage. Vielen Dank dafür!

Answer 2

Hallo

dx=du/(2x)

Wenn Du dx damit ersetzt . kürzt sich x heraus.