hab bei der folgenden Aufgabe gerade ein Problem:
Zeigen Sie, dass für beliebige p ∈ N und q ∈ R mit |q|<1 gilt:
$$\lim _{ n\rightarrow \infty }{ { n }^{ p }*{ q }^{ n }=0 } $$
Habe mir dazu bereits ein paar Sachen überlegt:
Da |q|<1 ist, ist es logisch das der Part der Folge gegen 0 geht. Wäre sehr leicht zu zeigen wär q∈Q, da man dann sagen könnte q=r/s (oder ähnlich), aber so fällt mir jetzt irgendwie nicht ein wie man das genau zeigt.
n^q ist ganz offensichtlich als Folge unendlich.
Da die Grenzwertsätze ja leider nur bei konvergenten Folgen gelten, kann ich sie hier ja nicht verwenden.
Des Weiteren finde ich auch relativ offensichtlich, dass q^n schneller gegen 0 läuft als n^p gegen unendlich.
Als Hinweis haben wir noch gegeben:
"Bilden Sie die n-ten Wurzeln der Beträge der Folgenglieder."
Wenn ich das jetzt nicht falsch verstanden habe heißt das einfach die n-te Wurzel der Folge ziehen und sagen es bleibt positiv, dh.
$$\sqrt [ n ]{ { n }^{ p }*{ q }^{ n } } =\sqrt [ n ]{ { n }^{ p } } *\sqrt [ n ]{ { q }^{ n } } =1*q=q=0$$ Dadurch habe ich aber, dass q=0 ist und nicht mehr das q= beliebig in R mit |q|<1 ist. Deshalb bin ich der Meinung da stimmt noch etwas nicht.
Weiß eventuell jemand wie man diese Aufgabe lösen kann und kann mir dabei helfen sie zu lösen?
Lipsen
