Äquivalenzumformung Ungleichung, zwei einfache Beispiele

Question

Ich habe hier zwei einfache Ungleichungen, beim ersten habe ich mir notiert, dass "geteilt durch a" eine erlaubte Umformung ist (mit Vergleichszeichen ändern bei a>0 und a<0). Beim zweiten Beispiel habe ich notiert, es stellt keine Äquivalenzumformung dar, da der Definitionsbereich eingeschränkt wird (x darf nicht null sein)

Meine Frage: Warum stellt das erste Beispiel eine erlaubte Umformung dar, obwohl "a" auch nicht null sein darf ?

(Ich habe beide Ungleichungen geprüft mit Wolframalpha und meine Notizen scheinen zu stimmen)

7a - 4 > ax   |:a

x * (3 - x) ≤ 4x   |:x

Answer 1

wenn du x * (3 - x) ≤ 4x   umformen willst indem du durch x teilst, musst

du 3 Fälle unterscheiden:

x = 0   Da belibt nur 0 ≤ 0 , also gehört 0 zur Lösungsmenge

x > 0    3 - x ≤ 4

-1 ≤ x  wegen x>0 ist das erfüllt, also gehören alle x>0 zur Lösungsmenge

x<0    3 - x ≥  4

- 1  ≥  x  Das ist in diesem Fall  erfüllt für x aus ] - ∞  ; -1 ]

Also ist die gesamte Lösungsmenge   ] - ∞  ; -1 ] ∪ [ 0 ;  + ∞ [  oder

einfacher  IR \ ] -1 ; 0 [ .

Comments

Das heisst meine Notizen zur zweiten Ungleichung (die mit x) sind falsch. Kann ich jetzt nachvollziehen.

Aber wie sieht es mit der ersten Ungleichung aus ?

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Für a=0 ist die offenbar nicht erfüllt.

also brauchst du da nur a<0 und a>0 zu betrachten.

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Vielen Dank, konnte es mit Deiner Erklärung jetzt nachvollziehen