Beweisen oder widerlegen: Für jeden K-Vektorraum V und alle Untervektorräume U1,U2,U3 gilt.

Question

Hallo ihr Lieben! Ich habe ganz große Probleme diese Aufgabe zu lösen!

Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U1, U2, U3 Untervektorräume von V .

(a) Entscheiden Sie (Beweis oder Gegenbeispiel), ob die Gleichung (U1 + U2) ∩ U3 = (U1 ∩ U3) + (U2 ∩ U3) stets erfüllt ist.

(b) Entscheiden Sie (Beweis oder Gegenbeispiel), ob die Gleichung (U1 ∩ U2) + U3 = (U1 + U3) ∩ (U2 + U3) stets erfüllt ist.

(c) Zeigen Sie, dass U1 ∪  U2 genau dann ein Untervektorraum von V ist, wenn U1 ⊆ U2 oder U1 ⊇ U2 gilt. 

Hinweis: 

Fur (a) und (b) kann man sich zunächst Beispiele in R 2 überlegen,

Vielen lieben Dank für eure Hilfe!

Comments

 

Hilfe!!! Ich kriege das nicht hin und brauche Punkte für die Zulassung! :(

Kann bitte jemand helfen?

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Wie kann ich das zeigen?

Danke schon mal im voraus :)

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ich habe die gleiche Frage... hat jemand Idee ?

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Hier ist die Aufgabenstellung. Leider weiß ich nicht wie ich es beweisen soll . Es wäre nett wenn jemand mir einen Ansatz geben könnte.

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Also ich muss diese Gleichungen beweisen , aber die Beweisung sind mir schwer . kann jemand mir helfen ?

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Wie habt ihr denn Summen von (Unter)Vektorräumen definiert?

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hat jemand eine Idee ??

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Bin auch am verzweifeln :(

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wir haben die summen so definiert

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EDIT: Schreibt Kommentare und keine Antworten zur Frage, die euch interessiert, sonst sieht es immer so aus, als hätte jemand geantwortet.

Habe das hier umgewandelt.

Man kann auch der Frage einen Daumen geben, wenn man sich für die gleiche (unbeantwortete) Frage interessiert. Das sieht dann auch besser aus und erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass jemand inhaltlich reagiert.

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Was ist das überhaupt für eine Art und Weise, Hausaufgaben ohne jegliche eigene Ansätze ins Internet zu stellen? Außerdem ist ist diese Aufgabe kürzlich schon einmal hier aufgetaucht...

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Ich habe leider nicht mal einen Ansatz, um diese Aufgabe zu lösen.

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jd1133: Ich habe gerade 3 gleiche Fragen geschlossen. Dort war aber jeweils als Antwort nur eine Reaktion von jemandem, der das auch nicht kann.

Hast du irgendwo einen Antworthinweis gesehen und kannst ihn wiederfinden?

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kann mir jemand helfen diese Aufgabe zu lösen.Ich hab leider keine Ahnung wie das gehen soll
Danke

Answer 1

Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U1, U2, U3 Untervektorräume von V .

(a) Entscheiden Sie (Beweis oder Gegenbeispiel), ob die Gleichung (U1 + U2) ∩ U3 = (U1 ∩ U3) + (U2 ∩ U3) stets erfüllt ist.

Gegenbeispiel:

U1= < (1;0)^T > und U2 = < (0;1)^T >   und U3 = < (1;1)^T >

U1+U2=R^2   also (U1 + U2) ∩ U3  =   U3

aber   (U1 ∩ U3) = {0}   und (U2 ∩ U3) = {0}   also Summe auch = {0} 

Comments

was ist mit T  gemeint?

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transponiert.

Du sollst das als vertikale Vektoren abschreiben.

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dann ist bei b ) so 
(U1 ∩ U2 ) = { 0 , 1 } und (U1 ∩ U2 ) + U3 = R2 ;
(U1 + U3 ) = R2 und (U2 + U3) = R2 , dann (U1+U3)∩(U2+U3)=R2 und die Aussage stimmt ?

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Muss der Schnitt von U1 und U2 nicht auch (0,0) sein oder täusche ich mich ?

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Glaube ich auch. Da muss man für b sicher ein anderes Beispiel wählen

oder möglicherweise stimmt b ja sogar.

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so wie kann man b  zeigen ?

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https://www.mathelounge.de/298491/sei-ein-korper-ein-vektorraum-und-u2-u3-untervektorraume-von

Answer 2

Ich will auch mal langsam ins Bett; du die hatte ich schon mal auf ===> Ly cos. Bei der c) hab ich echt noch zu gelernt; vom Studium her wusste ich nur, dass die Vereinigung i.A. kein Vektorraum ist.  Ich mach jetzt nur die c) und den Rest im Lauf des Tages ( wenn ich dann noch darf. )
   Beweis durch Widerspruch.



    W  :=  U1  V  U2   (  1  )


   Es gebe also x1 € U1 , das aber nicht in U2 liegt. Umgekehrt x2 € U2 , das nicht in U1 liegt. Jetzt war aber W alls Vektorraum voraus gesetzt; d.h.



     z  :=  x1  -  x2  €  W      (  2a  )



   setzen wir oBdA

z  =  x1  -  x2  €  U2   |    +  x2    (  2b  )

jetzt war aber U2 ein Vektorraum ===> abgeschlossen unter Addition . Wenn du also die Umstellung ( 2b ) ausführst

x1  =  z  +  x2  €  U2     (  2c  )

denn auf der rechten Seite von ( 2c ) liegen ja beide, z wie x2 , in U2 .

Widerspruch ; laut Voraussetzung liegt x1 NICHT in U2 .

Comments

a) Widerlege ich dir.

U1 = Abszisse; U2 = Ordinate; U3 = Winkel Halbierende

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Dakne erstmal ,

unter a hab ich das auch so gemacht und verstanden , und die b hab ich noch nicht