(1) Es ist klar, dass \(x_n>0\) für alle \(n\) gilt.
(2) Die Folge ist nach unten durch \(\sqrt3\) beschränkt:$$x_n^{\,2}-3=\frac{x_n^{\,2}}4+\frac32+\frac9{4x_n^{\,2}}-3=\frac{x_n^{\,2}}4-\frac32+\frac9{4x_n^{\,2}}=\left(\frac{x_n}2-\frac3{2x_n}\right)^{\!2}\ge0.$$(3) Die Folge ist monoton fallend:$$x_n-x_{n+1}=x_n-\frac{x_n}2-\frac3{2x_n}=\frac{x_n}2-\frac3{2x_n}=\frac{x_n^{\,2}-3}{2x_n}\ge0.$$